8 Considere um sistema com:

m=1 \mathrm{~kg}, \quad c=0,8 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}, \quad k=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m},
submetido à força:
F(t)=5 \cos (\omega t)
Determine:
a. A frequência na qual ocorre a amplitude máxima.
b. A amplitude máxima.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor e força harmónica:
m=1\\ \mathrm{kg},\qquad c=0{,}8\\ \mathrm{N\cdot s/m},\qquad k=25\\ \mathrm{N/m},
e
F(t)=5\cos(\omega t).
As perguntas são:
  • (a) determinar a frequência angular \omega na qual a amplitude de resposta é máxima;
  • (b) determinar essa amplitude máxima.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • massa \,m=1\,$; - coeficiente de amortecimento \(\,c=0{,}8\,$; - rigidez da mola \(\,k=25\,$; - amplitude da força excitadora \(\,F_0=5\,$; - a excitação é harmónica em \(\omega (a variável que queremos ajustar para maximizar a amplitude).)

Passo 2

Modelo físico e equação do movimento (explicação didática).
Para um sistema massa-mola-amortecedor forçado linear, a equação diferencial que descreve o deslocamento x(t) é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos(\omega t),
onde:
  • \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada temporal de x);
  • \dot{x} é a velocidade (primeira derivada temporal de x);
  • F_0 é a amplitude da força aplicada (aqui F_0=5);
  • \omega é a frequência angular da força excitadora (o parâmetro que varia).
Em regime estacionário (após as transientes terem desaparecido), a resposta particular tem a forma harmónica com a mesma frequência da excitação:
x_p(t)=X(\omega)\cos(\omega t-\varphi(\omega)),
onde X(\omega) é a amplitude de regime permanente (depende de \omega) e \varphi(\omega) é a defasagem. Nosso objetivo principal é X(\omega).

Passo 3

Fórmula da amplitude de regime permanente (derivação curta e didática).
Ao substituir x_p(t) na equação e comparar coeficientes, obtém-se a amplitude
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Explicando cada termo:
  • k-m\omega^2 representa a diferença entre a rigidez estática e a “rigidez dinâmica” associada à inércia;
  • c\omega é a contribuição do amortecimento, que cresce com \omega;
  • O denominador é a magnitude complexa da impedância do sistema, e seu quadrado é a soma dos quadrados das partes real e imaginária.
Portanto, para maximizar X(\omega) precisamos minimizar o denominador
D(\omega)=(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2.

Passo 4

Cálculo da frequência natural não amortecida e verificação do regime.
A frequência natural (angular) do sistema sem amortecimento é
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo os dados:
\omega_n=\sqrt{\frac{25}{1}}=5\\ \mathrm{rad/s}.
Também é útil calcular o fator de amortecimento adimensional \zeta:
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{0{,}8}{2\cdot1\cdot5}=\frac{0{,}8}{10}=0{,}08.
Como \zeta=0{,}08<\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}707, o pico de amplitude em frequência existe (sistema pouco amortecido).

Passo 5

Encontrar \omega que maximiza X(\omega) (derivação passo a passo).
Maximizar X(\omega) é equivalente a minimizar D(\omega). Derivamos D em relação a \omega e igualamos a zero:
D(\omega)=(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2.
Derivando:
\frac{dD}{d\omega}=2(k-m\omega^2)(-2m\omega)+2c^2\omega.
Colocando em evidência 2\omega (e lembrando \omega\neq0 para o máximo não trivial):
2\omega\big[-2m(k-m\omega^2)+c^2\big]=0.
Daí:
-2m(k-m\omega^2)+c^2=0.
Rearranjando:
2m^2\omega^2=2mk-c^2.
Logo a frequência que dá máximo é
\omega_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{2mk-c^2}{2m^2}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^2}{2m^2}}.
Isto é a expressão conhecida para a frequência de pico de amplitude em sistema amortecido (válida quando o termo dentro da raiz é positivo, o que ocorre aqui).

Passo 6

Cálculo numérico de \omega_{\mathrm{max}}.
Como m=1, k=25, c=0{,}8:
\omega_{\mathrm{max}}=\sqrt{25-\frac{0{,}8^2}{2}}=\sqrt{25-\frac{0{,}64}{2}}=\sqrt{25-0{,}32}=\sqrt{24{,}68}.
Calculando:
\omega_{\mathrm{max}}\approx 4{,}968\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Cálculo da amplitude máxima X_{\max}=X(\omega_{\mathrm{max}}).
Em \omega_{\mathrm{max}} o termo k-m\omega^2 pode ser obtido da condição do passo anterior:
k-m\omega_{\mathrm{max}}^2=\frac{c^2}{2m}.
Com c^2=0{,}64 e m=1 temos k-m\omega_{\mathrm{max}}^2=0{,}32.
Agora calcule o denominador \sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2} em \omega_{\mathrm{max}}:
(k-m\omega_{\mathrm{max}}^2)^2=(0{,}32)^2=0{,}1024,
(c\omega_{\mathrm{max}})^2=(0{,}8\cdot 4{,}968)^2\approx(3{,}9744)^2\approx15{,}7956.
Somando:
D(\omega_{\mathrm{max}})\approx 0{,}1024+15{,}7956=15{,}8980.
Portanto a amplitude máxima é
X_{\max}=\frac{F_0}{\sqrt{D(\omega_{\mathrm{max}})}}\approx\frac{5}{\sqrt{15{,}8980}}\approx\frac{5}{3{,}9897}\approx1{,}253.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida.
  • A frequência encontrada \omega_{\mathrm{max}} é muito próxima da frequência natural \omega_n=5, como esperado para amortecimento pequeno ( \zeta=0{,}08).
  • A amplitude máxima calculada é aproximadamente 1{,}253\\ \mathrm{m}. Está coerente: uma força de amplitude 5\\ \mathrm{N} num sistema com rigidez 25\\ \mathrm{N/m} daria F_0/k=0{,}2\\ \mathrm{m} na condição estática; a ressonância aumenta esse valor por ser resposta dinâmica (e o amortecimento limita o pico).

Resposta

\omega_{\mathrm{max}} \approx 4{,}968\\ \mathrm{rad/s}
X_{\max} \approx 1{,}253\\ \mathrm{m}

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