8 Considere um sistema com:
submetido à força:
Determine:
a. A frequência na qual ocorre a amplitude máxima.
b. A amplitude máxima.
a. A frequência na qual ocorre a amplitude máxima.
b. A amplitude máxima.
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor e força harmónica:
e
As perguntas são:
- (a) determinar a frequência angular
na qual a amplitude de resposta é máxima; - (b) determinar essa amplitude máxima.
Lista das informações relevantes fornecidas:
- massa (a variável que queremos ajustar para maximizar a amplitude).)
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento (explicação didática).
Para um sistema massa-mola-amortecedor forçado linear, a equação diferencial que descreve o deslocamento é
Para um sistema massa-mola-amortecedor forçado linear, a equação diferencial que descreve o deslocamento
onde:
-
é a aceleração (segunda derivada temporal de ); -
é a velocidade (primeira derivada temporal de ); -
é a amplitude da força aplicada (aqui ); -
é a frequência angular da força excitadora (o parâmetro que varia).
Em regime estacionário (após as transientes terem desaparecido), a resposta particular tem a forma harmónica com a mesma frequência da excitação:
onde
é a amplitude de regime permanente (depende de
) e
é a defasagem. Nosso objetivo principal é
.
Passo 3
Fórmula da amplitude de regime permanente (derivação curta e didática).
Ao substituir na equação e comparar coeficientes, obtém-se a amplitude
Ao substituir
Explicando cada termo:
-
representa a diferença entre a rigidez estática e a “rigidez dinâmica” associada à inércia; -
é a contribuição do amortecimento, que cresce com ; - O denominador é a magnitude complexa da impedância do sistema, e seu quadrado é a soma dos quadrados das partes real e imaginária.
Portanto, para maximizar
precisamos minimizar o denominador
Passo 4
Cálculo da frequência natural não amortecida e verificação do regime.
A frequência natural (angular) do sistema sem amortecimento é
A frequência natural (angular) do sistema sem amortecimento é
Substituindo os dados:
Também é útil calcular o fator de amortecimento adimensional
:
Como
, o pico de amplitude em frequência existe (sistema pouco amortecido).
Passo 5
Encontrar
que maximiza
(derivação passo a passo).
Maximizar é equivalente a minimizar
. Derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Maximizar
Derivando:
Colocando em evidência
(e lembrando
para o máximo não trivial):
Daí:
Rearranjando:
Logo a frequência que dá máximo é
Isto é a expressão conhecida para a frequência de pico de amplitude em sistema amortecido (válida quando o termo dentro da raiz é positivo, o que ocorre aqui).
Passo 6
Cálculo numérico de
.
Como ,
,
:
Como
Calculando:
Passo 7
Cálculo da amplitude máxima
.
Em o termo
pode ser obtido da condição do passo anterior:
Em
Com
e
temos
.
Agora calcule o denominador
em
:
Somando:
Portanto a amplitude máxima é
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida.
- A frequência encontrada
é muito próxima da frequência natural , como esperado para amortecimento pequeno ( ). - A amplitude máxima calculada é aproximadamente
. Está coerente: uma força de amplitude num sistema com rigidez daria na condição estática; a ressonância aumenta esse valor por ser resposta dinâmica (e o amortecimento limita o pico).