4 Um sistema amortecido possui:
e é excitado pela força:
Determine:
a. A frequência natural amortecida
.
b. A razão de frequência
.
c. A amplitude da resposta em regime permanente.
a. A frequência natural amortecida
b. A razão de frequência
c. A amplitude da resposta em regime permanente.
Passo 1
O enunciado dá os parâmetros do sistema massa-mola-amortecedor e a força excitadora. Vou listar tudo o que temos e o que é pedido.
-
Dados (peguei diretamente do enunciado):
- massa:
- amortecimento:
- rigidez:
- força excitadora:
. Assim a amplitude da força é e a frequência angular da excitação é .
- massa:
-
O que o enunciado pede:
a. A frequência natural amortecida.
b. A razão de frequência, onde é a frequência natural não amortecida.
c. A amplitude da resposta em regime permanente (amplitude do regime forçado estacionário).
Passo 2
Vou calcular primeiro a frequência natural não amortecida
. Explico a fórmula: para um sistema massa-mola sem amortecimento a frequência natural angular é
Aqui
tem unidades de
,
é a rigidez (
) e
é a massa (
).
Calculemos:
Passo 3
Agora calculo a razão de amortecimento (damping ratio)
. Explico a fórmula: a razão de amortecimento é
Essa quantidade é adimensional e indica se o sistema é subamortecido (
), criticamente amortecido (
) ou superamortecido (
).
Substituindo:
Como
, o sistema é subamortecido (há oscilação amortecida).
Passo 4
Agora a frequência natural amortecida
. Para um sistema subamortecido a frequência angular dos oscilações livres amortecidas é
Aqui
é a frequência natural não amortecida e
é a razão de amortecimento.
Substituindo os valores já calculados:
Calcule
, então
Passo 5
Calculo a razão de frequência pedida
. Aqui
é a frequência da excitação (peguei do enunciado:
) e
.
Passo 6
Agora a amplitude da resposta em regime permanente (amplitude do regime forçado estacionário). Vou primeiro explicar a ideia e a fórmula:
O modelo (equação de movimento) é
Procuramos uma solução particular de forma harmonica
. Ao substituir e igualar termos obtém-se a amplitude do regime estacionário
Nessa fórmula:
-
é a amplitude da força (aqui ); -
é a massa; -
é a rigidez; -
é o coeficiente de amortecimento; -
é a frequência da excitação; -
é a amplitude da resposta em regime permanente (em metros).
Agora calculo passo a passo os termos numéricos:
Somando os quadrados do denominador:
A raiz quadrada:
Finalmente a amplitude:
Arredondando de forma útil:
Passo 7
Recapitulando rapidamente os resultados calculados para entregar exatamente o que foi pedido (as unidades e arredondamentos razoáveis estão indicados):
Resposta
a.
b.
c. Amplitude em regime permanente
b.
c. Amplitude em regime permanente