4 Um sistema amortecido possui:

m=10 \mathrm{~kg}, \quad c=40 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}, \quad k=1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
e é excitado pela força:
F(t)=50 \cos (8 t)
Determine:
a. A frequência natural amortecida \omega_{d}.
b. A razão de frequência r=\omega / \omega_{n}.
c. A amplitude da resposta em regime permanente.

Passo 1

O enunciado dá os parâmetros do sistema massa-mola-amortecedor e a força excitadora. Vou listar tudo o que temos e o que é pedido.
  • Dados (peguei diretamente do enunciado):
    • massa: m=10\\ \mathrm{kg}
    • amortecimento: c=40\\ \mathrm{N\cdot s/m}
    • rigidez: k=1000\\ \mathrm{N/m}
    • força excitadora: F(t)=50\cos(8t). Assim a amplitude da força é F_0=50\\ \mathrm{N} e a frequência angular da excitação é \omega=8\\ \mathrm{rad/s}.
  • O que o enunciado pede:
    a. A frequência natural amortecida \omega_{d}.
    b. A razão de frequência r=\omega/\omega_{n}, onde \omega_{n} é a frequência natural não amortecida.
    c. A amplitude da resposta em regime permanente (amplitude do regime forçado estacionário).

Passo 2

Vou calcular primeiro a frequência natural não amortecida \omega_{n}. Explico a fórmula: para um sistema massa-mola sem amortecimento a frequência natural angular é
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui \omega_{n} tem unidades de \mathrm{rad/s}, k é a rigidez ( \mathrm{N/m}) e m é a massa ( \mathrm{kg}).
Calculemos:
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{1000}{10}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora calculo a razão de amortecimento (damping ratio) \zeta. Explico a fórmula: a razão de amortecimento é
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_{n}}.
Essa quantidade é adimensional e indica se o sistema é subamortecido ( \zeta<1), criticamente amortecido ( \zeta=1) ou superamortecido ( \zeta>1).
Substituindo:
\zeta=\dfrac{40}{2\cdot 10\cdot 10}=\dfrac{40}{200}=0{,}2.
Como \zeta=0{,}2<1, o sistema é subamortecido (há oscilação amortecida).

Passo 4

Agora a frequência natural amortecida \omega_{d}. Para um sistema subamortecido a frequência angular dos oscilações livres amortecidas é
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Aqui \omega_{n} é a frequência natural não amortecida e \zeta é a razão de amortecimento.
Substituindo os valores já calculados:
\omega_{d}=10\sqrt{1-(0{,}2)^{2}}=10\sqrt{1-0{,}04}=10\sqrt{0{,}96}.
Calcule \sqrt{0{,}96}\approx0{,}979795, então
\omega_{d}\approx10\cdot0{,}979795\approx9{,}798\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calculo a razão de frequência pedida r=\omega/\omega_{n}. Aqui \omega é a frequência da excitação (peguei do enunciado: \omega=8\\ \mathrm{rad/s}) e \omega_{n}=10\\ \mathrm{rad/s}.
r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}}=\dfrac{8}{10}=0{,}8.

Passo 6

Agora a amplitude da resposta em regime permanente (amplitude do regime forçado estacionário). Vou primeiro explicar a ideia e a fórmula:
O modelo (equação de movimento) é
m\ddot{x}+c\dot{x}+k x = F_{0}\cos(\omega t).
Procuramos uma solução particular de forma harmonica \displaystyle x_{p}(t)=X\cos(\omega t-\varphi). Ao substituir e igualar termos obtém-se a amplitude do regime estacionário
X=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Nessa fórmula:
  • F_{0} é a amplitude da força (aqui 50\\ \mathrm{N});
  • m é a massa;
  • k é a rigidez;
  • c é o coeficiente de amortecimento;
  • \omega é a frequência da excitação;
  • X é a amplitude da resposta em regime permanente (em metros).
Agora calculo passo a passo os termos numéricos:
m\omega^{2}=10\cdot 8^{2}=10\cdot 64=640.
k-m\omega^{2}=1000-640=360.
(k-m\omega^{2})^{2}=360^{2}=129600.
c\omega=40\cdot 8=320.
(c\omega)^{2}=320^{2}=102400.
Somando os quadrados do denominador:
(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}=129600+102400=232000.
A raiz quadrada:
\sqrt{232000}\approx481{,}662.
Finalmente a amplitude:
X=\dfrac{50}{481{,}662}\approx0{,}1038\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma útil:
X\approx0{,}104\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Recapitulando rapidamente os resultados calculados para entregar exatamente o que foi pedido (as unidades e arredondamentos razoáveis estão indicados):

Resposta

a. \omega_{d}\approx9{,}798\\ \mathrm{rad/s}
b. r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}}=0{,}8
c. Amplitude em regime permanente X\approx0{,}104\\ \mathrm{m}

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