5 Um sistema amortecido com:

m=3 \mathrm{~kg}, \quad k=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
está sujeito à força F(t)=10 \sin (15 t). Avalie três casos:
c=0, \quad c=20 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}, \quad c=100 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}
Para cada caso determine:
a. O coeficiente adimensional de amortecimento \zeta.
b. A amplitude da resposta.
c. A fase \varphi.
d. Comentários sobre a influência do amortecimento na ressonância.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor com:
  • massa \,m=3\\ \mathrm{kg}\,,
  • rigidez \,k=300\\ \mathrm{N/m}\,,
  • força harmônica \,F(t)=10\sin(15t)\, (logo amplitude da força \,F_0=10\\ \mathrm{N}\, e frequência de excitação \,\omega=15\\ \mathrm{rad/s}\,),
    e pede, para cada um dos três valores de amortecimento c dados ( c=0,\;20,\;100\\ \mathrm{N\cdot s/m}):
    (a) o coeficiente adimensional de amortecimento \zeta;
    (b) a amplitude da resposta estacionária X (deslocamento);
    (c) a fase \varphi entre resposta e força;
    (d) comentário sobre influência do amortecimento na ressonância.
Informações já extraídas e que usarei:
\omega = 15\\ \mathrm{rad/s},\qquad F_0 = 10\\ \mathrm{N}.
Vou calcular também a frequência natural do sistema, que é dada por \omega_n=\sqrt{k/m}, pois isso aparece nas fórmulas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e por que usamos cada coisa).
  1. Frequência natural:
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Significado: \omega_n é a frequência (em rad/s) com que o sistema oscilaria sem amortecimento e sem força externa. Aqui \,k é rigidez (N/m) e \,m é massa (kg).
  1. Coeficiente adimensional de amortecimento:
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}.
Significado: \zeta compara o amortecimento real c com o amortecimento crítico c_\text{cr}=2m\omega_n. Se \zeta<1 o sistema é subamortecido (oscila), \zeta=1 criticamente amortecido, \zeta>1 sobreamortecido (não oscila).
  1. Resposta estacionária para força harmônica F_0\sin(\omega t):
    A solução estacionária (regime permanente) tem amplitude
X=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Explicação: isto vem da forma complexa da função de transferência do sistema de segunda ordem; o numerador é a amplitude da força e o denominador é a magnitude do termo complexo (k-m\omega^2)+i(c\omega). Todas as grandezas aparecem em unidades compatíveis (N e N/m) resultando em deslocamento (m).
  1. Fase entre a força e o deslocamento (usando a convenção x(t)=X\sin(\omega t-\varphi)):
\varphi=\operatorname{atan2}(c\omega,\;k-m\omega^2).
Explicação: \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto considerando o quadrante do par (x,y). Em muitas fórmulas a escrita equivalente é
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{c\omega}{k-m\omega^2}\right),
mas nesse caso é importante observar o sinal de k-m\omega^2 para escolher o quadrante (quando k-m\omega^2<0 a fase fica entre \tfrac{\pi}{2} e \pi).
  1. Ressonância ou pico de amplitude:
  • Para sistema sem amortecimento ideal ( \zeta=0) a amplitude tende a infinito se \omega=\omega_n (ressonância perfeita).
  • Para \zeta>0 o pico existe apenas se \zeta<1/\sqrt{2}; a frequência de pico (quando existe) é \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}.
    Aqui é útil comparar \omega (15) com \omega_n para ver se a excitação está perto da ressonância.

Passo 3

Calcular \omega_n e o amortecimento crítico c_\text{cr} (valores numéricos de referência).
Calcule \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{300}{3}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule o amortecimento crítico:
c_{\text{cr}}=2m\omega_n=2\cdot 3\cdot 10=60\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Agora a fórmula de \zeta novamente:
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}=\dfrac{c}{60}.

Passo 4

Calcular \zeta para cada caso (item a), com explicação simples do que cada valor significa.
  • Para c=0:
\zeta=\dfrac{0}{60}=0.
Interpretação: sem amortecimento (sistema ideal sem dissipação).
  • Para c=20\\ \mathrm{N\cdot s/m}:
\zeta=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}\approx 0,3333.
Interpretação: subamortecido (oscila), e \zeta<1/\sqrt{2}\approx0,707, então existe pico de ressonância finito materializado por um máximo em frequência \omega_r.
  • Para c=100\\ \mathrm{N\cdot s/m}:
\zeta=\dfrac{100}{60}\approx 1,6667.
Interpretação: \zeta>1 — sistema sobreamortecido (não há oscilações livres), e não há pico de ressonância.

Passo 5

Calcular a amplitude X da resposta estacionária para cada caso (item b). Vou usar a fórmula direta
X=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},
onde já sabemos k-m\omega^2=300-3\cdot 15^2=300-675=-375 (N/m) e \omega=15.
Primeiro calcule o termo fixo:
k-m\omega^2 = -375.
Agora cada caso:
  • Caso c=0:
X=\dfrac{10}{\sqrt{(-375)^2+0^2}}=\dfrac{10}{375}= \dfrac{2}{75}\approx 0,0266667\\ \mathrm{m}.
  • Caso c=20:
    Calcule c\omega=20\cdot 15=300.
X=\dfrac{10}{\sqrt{(-375)^2+300^2}} =\dfrac{10}{\sqrt{140625+90000}} =\dfrac{10}{\sqrt{230625}}.
A raiz \sqrt{230625}\approx 480,234, logo
X\approx\dfrac{10}{480,234}\approx 0,02083\\ \mathrm{m}.
  • Caso c=100:
    Calcule c\omega=100\cdot 15=1500.
X=\dfrac{10}{\sqrt{(-375)^2+1500^2}} =\dfrac{10}{\sqrt{140625+2250000}} =\dfrac{10}{\sqrt{2390625}}.
A raiz \sqrt{2390625}\approx 1546,165, logo
X\approx\dfrac{10}{1546,165}\approx 0,00647\\ \mathrm{m}.
Comentário numérico rápido: à medida que c aumenta, o denominador cresce e a amplitude diminui.

Passo 6

Calcular a fase \varphi (item c) e explicar o significado físico.
Usarei a convenção x(t)=X\sin(\omega t-\varphi). A fase é
\varphi=\operatorname{atan2}(c\omega,\;k-m\omega^2).
Lembre que \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo no quadrante correto; fisicamente \varphi é o atraso (lag) do deslocamento em relação à força.
Temos k-m\omega^2=-375 (negativo). Para cada c:
  • Caso c=0: c\omega=0. Então
\varphi=\operatorname{atan2}(0,-375)=\pi\\ \text{rad}\approx 3,1416\\ \text{rad} \quad (180^\circ).
Interpretação: a resposta está em oposição de fase com a força (força aplicada acima da frequência própria faz inverter o sinal quando não há amortecimento).
  • Caso c=20: c\omega=300. Calcule \arctan básico:
\arctan\!\left(\dfrac{300}{|{-375}|}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{300}{375}\right)=\arctan(0,8)\approx 0,67474\\ \text{rad}\\ (38,6598^\circ).
Como k-m\omega^2<0 e c\omega>0 o ângulo está no segundo quadrante:
\varphi=\pi-0,67474\approx 2,46685\\ \text{rad}\approx 141,34^\circ.
  • Caso c=100: c\omega=1500. Calcule
\arctan\!\left(\dfrac{1500}{375}\right)=\arctan(4)\approx 1,32582\\ \text{rad}\\ (75,9638^\circ).
Quadrante idem (x negativo, y positivo):
\varphi=\pi-1,32582\approx 1,81577\\ \text{rad}\approx 104,04^\circ.
Observação sobre tendência: com amortecimento muito pequeno a fase fica próxima de \pi (180°); com amortecimento grande a fase aproxima-se de \tfrac{\pi}{2} (90°) quando \omega está bem acima da região onde a rigidez domina.

Passo 7

Discussão sobre influência do amortecimento na ressonância (item d), com números e interpretação.
  1. Localização da excitação em relação à frequência natural:
\omega_n=10\\ \mathrm{rad/s},\quad \omega=15\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto a excitação está acima da frequência natural. A ressonância (pico de amplitude) ocorre em torno de \omega_n (ou em \omega_r levemente deslocada se houver amortecimento) — mas aqui a excitação \omega=15 está longe de \omega_n=10, portanto não estamos excitando na região de ressonância do sistema.
  1. Efeito do amortecimento nos valores numéricos obtidos:
  • Para c=0 (sem amortecimento) a amplitude em \omega=15 é X\approx 0,02667\\ \mathrm{m}.
  • Para c=20 (subamortecido) a amplitude diminui para X\approx 0,02083\\ \mathrm{m}.
  • Para c=100 (sobreamortecido) a amplitude diminui ainda mais para X\approx 0,00647\\ \mathrm{m}.
Conclusão física e didática:
  • O amortecimento reduz a amplitude da resposta para qualquer frequência de excitação: quanto maior c, menor a amplitude no regime permanente.
  • A presença de amortecimento também “achata” o pico de ressonância: quando \zeta cresce o máximo de amplitude em torno de \omega_n fica menor e pode desaparecer completamente para \zeta\ge 1/\sqrt{2}.
  • No nosso caso particular a força de excitação tem \omega=15>\omega_n, ou seja estamos fora da zona de ressonância; mesmo sem amortecimento não há amplificação infinita (aqui não estamos em \omega=\omega_n), mas o amortecimento ainda diminui a amplitude substancialmente.
  • Resumo qualitativo: amortecimento é o mecanismo que limita a resposta em frequência; sistemas pouco amortecidos podem ter picos pronunciados (perigosos se excitados perto da ressonância), sistemas fortemente amortecidos têm resposta pequena e sem pico.

Resposta

Para c=0\\ \mathrm{N\cdot s/m}:
(a) \zeta=0
(b) X\approx 0,02667\\ \mathrm{m}
(c) \varphi=\pi\\ \text{rad}\approx 180^\circ
(d) Sem amortecimento, não há dissipação; como \omega=15 não coincide com \omega_n=10 não ocorre ressonância infinita aqui, mas a amplitude é maior do que nos casos amortecidos.
Para c=20\\ \mathrm{N\cdot s/m}:
(a) \zeta=\tfrac{1}{3}\approx 0,3333
(b) X\approx 0,02083\\ \mathrm{m}
(c) \varphi\approx 2,4669\\ \text{rad}\approx 141,34^\circ
(d) Amortecimento reduz a amplitude; com \zeta=0,3333<1/\sqrt{2} existe pico de ressonância (finito), mas a excitação \omega=15 está fora da região de pico.
Para c=100\\ \mathrm{N\cdot s/m}:
(a) \zeta\approx 1,6667
(b) X\approx 0,00647\\ \mathrm{m}
(c) \varphi\approx 1,8158\\ \text{rad}\approx 104,04^\circ
(d) Amortecimento grande reduz muito a amplitude e elimina qualquer pico de ressonância pronunciado (sistema sobreamortecido).

Exercícios relacionados