5 Um sistema amortecido com:
está sujeito à força
. Avalie três casos:
Para cada caso determine:
a. O coeficiente adimensional de amortecimento
.
b. A amplitude da resposta.
c. A fase
.
d. Comentários sobre a influência do amortecimento na ressonância.
a. O coeficiente adimensional de amortecimento
b. A amplitude da resposta.
c. A fase
d. Comentários sobre a influência do amortecimento na ressonância.
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor com:
- massa
, - rigidez
, - força harmônica
(logo amplitude da força e frequência de excitação ),
e pede, para cada um dos três valores de amortecimentodados ( ):
(a) o coeficiente adimensional de amortecimento;
(b) a amplitude da resposta estacionária(deslocamento);
(c) a faseentre resposta e força;
(d) comentário sobre influência do amortecimento na ressonância.
Informações já extraídas e que usarei:
Vou calcular também a frequência natural do sistema, que é dada por
, pois isso aparece nas fórmulas.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e por que usamos cada coisa).
- Frequência natural:
Significado:
é a frequência (em rad/s) com que o sistema oscilaria sem amortecimento e sem força externa. Aqui
é rigidez (N/m) e
é massa (kg).
- Coeficiente adimensional de amortecimento:
Significado:
compara o amortecimento real
com o amortecimento crítico
. Se
o sistema é subamortecido (oscila),
criticamente amortecido,
sobreamortecido (não oscila).
- Resposta estacionária para força harmônica
:
A solução estacionária (regime permanente) tem amplitude
Explicação: isto vem da forma complexa da função de transferência do sistema de segunda ordem; o numerador é a amplitude da força e o denominador é a magnitude do termo complexo
. Todas as grandezas aparecem em unidades compatíveis (N e N/m) resultando em deslocamento (m).
- Fase entre a força e o deslocamento (usando a convenção
):
Explicação:
dá o ângulo correto considerando o quadrante do par
. Em muitas fórmulas a escrita equivalente é
mas nesse caso é importante observar o sinal de
para escolher o quadrante (quando
a fase fica entre
e
).
- Ressonância ou pico de amplitude:
- Para sistema sem amortecimento ideal (
) a amplitude tende a infinito se (ressonância perfeita). - Para
o pico existe apenas se ; a frequência de pico (quando existe) é .
Aqui é útil comparar(15) com para ver se a excitação está perto da ressonância.
Passo 3
Calcular
e o amortecimento crítico
(valores numéricos de referência).
Calcule
:
Calcule o amortecimento crítico:
Agora a fórmula de
novamente:
Passo 4
Calcular
para cada caso (item a), com explicação simples do que cada valor significa.
- Para
:
Interpretação: sem amortecimento (sistema ideal sem dissipação).
- Para
:
Interpretação: subamortecido (oscila), e
, então existe pico de ressonância finito materializado por um máximo em frequência
.
- Para
:
Interpretação:
— sistema sobreamortecido (não há oscilações livres), e não há pico de ressonância.
Passo 5
Calcular a amplitude
da resposta estacionária para cada caso (item b). Vou usar a fórmula direta
onde já sabemos
(N/m) e
.
Primeiro calcule o termo fixo:
Agora cada caso:
- Caso
:
- Caso
:
Calcule.
A raiz
, logo
- Caso
:
Calcule.
A raiz
, logo
Comentário numérico rápido: à medida que
aumenta, o denominador cresce e a amplitude diminui.
Passo 6
Calcular a fase
(item c) e explicar o significado físico.
Usarei a convenção
. A fase é
Lembre que
dá o ângulo no quadrante correto; fisicamente
é o atraso (lag) do deslocamento em relação à força.
Temos
(negativo). Para cada
:
- Caso
: . Então
Interpretação: a resposta está em oposição de fase com a força (força aplicada acima da frequência própria faz inverter o sinal quando não há amortecimento).
- Caso
: . Calcule básico:
Como
e
o ângulo está no segundo quadrante:
- Caso
: . Calcule
Quadrante idem (x negativo, y positivo):
Observação sobre tendência: com amortecimento muito pequeno a fase fica próxima de
(180°); com amortecimento grande a fase aproxima-se de
(90°) quando
está bem acima da região onde a rigidez domina.
Passo 7
Discussão sobre influência do amortecimento na ressonância (item d), com números e interpretação.
- Localização da excitação em relação à frequência natural:
Portanto a excitação está acima da frequência natural. A ressonância (pico de amplitude) ocorre em torno de
(ou em
levemente deslocada se houver amortecimento) — mas aqui a excitação
está longe de
, portanto não estamos excitando na região de ressonância do sistema.
- Efeito do amortecimento nos valores numéricos obtidos:
- Para
(sem amortecimento) a amplitude em é . - Para
(subamortecido) a amplitude diminui para . - Para
(sobreamortecido) a amplitude diminui ainda mais para .
Conclusão física e didática:
- O amortecimento reduz a amplitude da resposta para qualquer frequência de excitação: quanto maior
, menor a amplitude no regime permanente. - A presença de amortecimento também “achata” o pico de ressonância: quando
cresce o máximo de amplitude em torno de fica menor e pode desaparecer completamente para . - No nosso caso particular a força de excitação tem
, ou seja estamos fora da zona de ressonância; mesmo sem amortecimento não há amplificação infinita (aqui não estamos em ), mas o amortecimento ainda diminui a amplitude substancialmente. - Resumo qualitativo: amortecimento é o mecanismo que limita a resposta em frequência; sistemas pouco amortecidos podem ter picos pronunciados (perigosos se excitados perto da ressonância), sistemas fortemente amortecidos têm resposta pequena e sem pico.
Resposta
Para
:
(a)
(b)
(c)
(d) Sem amortecimento, não há dissipação; como não coincide com
não ocorre ressonância infinita aqui, mas a amplitude é maior do que nos casos amortecidos.
(a)
(b)
(c)
(d) Sem amortecimento, não há dissipação; como
Para
:
(a)
(b)
(c)
(d) Amortecimento reduz a amplitude; com existe pico de ressonância (finito), mas a excitação
está fora da região de pico.
(a)
(b)
(c)
(d) Amortecimento reduz a amplitude; com
Para
:
(a)
(b)
(c)
(d) Amortecimento grande reduz muito a amplitude e elimina qualquer pico de ressonância pronunciado (sistema sobreamortecido).
(a)
(b)
(c)
(d) Amortecimento grande reduz muito a amplitude e elimina qualquer pico de ressonância pronunciado (sistema sobreamortecido).