Considere \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\sqrt{-4 x^{2}-3 y^{2}-z^{2}+1}. Encontre o vetor gradiente de f no ponto \mathrm{P}=\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{2}\right) ?
Escolha uma opção:
◯ a. (-2,-\sqrt{3}, 1)
◯ b. (2,-\sqrt{3}, 1)
◯ c. (-2, \sqrt{3},-1)
◯ d. (2,-\sqrt{3},-1)
◯ e. (-2,-\sqrt{3},-1)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor gradiente de f(x,y,z)=\sqrt{-4x^{2}-3y^{2}-z^{2}+1} no ponto P=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{1}{2}\right).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\sqrt{-4x^{2}-3y^{2}-z^{2}+1}.
  • O ponto é P=\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2\sqrt{3}},\dfrac{1}{2}\right).
  • Precisa-se do vetor gradiente \nabla f(P), isto é, as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z} avaliadas em P.

Passo 2

Relembrando o que é o gradiente e a regra que vamos usar (aula rápida e prática).
O gradiente de uma função escalar de três variáveis é
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui f é composta: f(x,y,z)=\sqrt{u(x,y,z)} com
u(x,y,z)=-4x^{2}-3y^{2}-z^{2}+1.
Para derivar f=\sqrt{u} em relação a uma variável aplicamos a regra da cadeia: se f(u)=u^{1/2} então
\frac{df}{du}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Logo, para cada variável v\in\{x,y,z\},
\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{1}{2\sqrt{u(x,y,z)}}\cdot\frac{\partial u}{\partial v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u(x,y,z). Lembre-se que u=-4x^{2}-3y^{2}-z^{2}+1.
  • Derivando em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=-8x,
pois \dfrac{d}{dx}(-4x^{2})=-8x e as outras parcelas não dependem de x.
  • Derivando em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=-6y,
pois \dfrac{d}{dy}(-3y^{2})=-6y.
  • Derivando em relação a z:
\frac{\partial u}{\partial z}=-2z.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia para obter as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(-8x)=\frac{-8x}{2\sqrt{u}}=\frac{-4x}{\sqrt{u}},
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(-6y)=\frac{-6y}{2\sqrt{u}}=\frac{-3y}{\sqrt{u}},
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(-2z)=\frac{-2z}{2\sqrt{u}}=\frac{-z}{\sqrt{u}}.
Portanto, de forma compacta,
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{-4x}{\sqrt{u(x,y,z)}},\;\frac{-3y}{\sqrt{u(x,y,z)}},\;\frac{-z}{\sqrt{u(x,y,z)}}\right).

Passo 5

Antes de avaliar, precisamos do valor de u em P. Calculemos u\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2\sqrt{3}},\dfrac{1}{2}\right).
u\Big(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2\sqrt{3}},\tfrac{1}{2}\Big) = -4\Big(\tfrac{1}{4}\Big)^{2}-3\Big(\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big)^{2}-\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{2}+1.
Calcule termo a termo:
\Big(\tfrac{1}{4}\Big)^{2}=\tfrac{1}{16}\quad\Rightarrow\quad -4\cdot\tfrac{1}{16}=-\tfrac{1}{4}.
\Big(\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big)^{2}=\tfrac{1}{4\cdot 3}=\tfrac{1}{12}\quad\Rightarrow\quad -3\cdot\tfrac{1}{12}=-\tfrac{1}{4}.
\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{2}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{4}.
Somando:
u = -\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}+1 = 1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.
Portanto \sqrt{u(P)}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2} (escolhe-se a raiz positiva porque a definição da função usa a raiz principal).

Passo 6

Agora avalie cada componente do gradiente em P, usando \sqrt{u(P)}=\tfrac{1}{2}.
Componente x:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P}=\frac{-4x}{\sqrt{u(P)}}=\frac{-4\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2.
Componente y:
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P}=\frac{-3y}{\sqrt{u(P)}}=\frac{-3\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{1}=\frac{-3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3},
pois \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Componente z:
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{P}=\frac{-z}{\sqrt{u(P)}}=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1.

Passo 7

Juntando as componentes, o vetor gradiente em P é
\nabla f(P)=\left(-2,\,-\sqrt{3},\,-1\right).

Resposta

\left(-2,-\sqrt{3},-1\right)

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