Mostrar que os dois conjuntos \{(1,-1,2),(3,0,1)\} e \{(-1,-2,3),(3,3,-4)\} geram o mesmo subespaço do \mathbb{R}^{3}.
Dica: Escalonamento sobre a matriz formada por vetores dados como linhas, temos novas linhas que geram o mesmo subespaço.
\begin{aligned} & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_{2}=L_{2}-3 L_{1}}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & -5 \end{array}\right) \\\ & \left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 3 \\\\ 3 & 3 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow{L_{2}=L_{2}+3 L_{1}}\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 3 \\\\ 0 & -3 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow[L_{2}=-L_{2}]{L_{1}=-L_{1}}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\\\ 0 & 3 & -5 \end{array}\right) \xrightarrow{L_{1}=L_{1}-L_{2}} \\\ & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & -5 \end{array}\right) \end{aligned}
Portanto os dois conjuntos geram mesmo subespaço gerado por (1,-1,2),(0,3,-5).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: mostrar que os dois conjuntos de vetores geram o mesmo subespaço de \mathbb{R}^3.
  • Vetores do primeiro conjunto: u_{1}=(1,-1,2),\qquad u_{2}=(3,0,1).
  • Vetores do segundo conjunto: v_{1}=(-1,-2,3),\qquad v_{2}=(3,3,-4).
Resumo do objetivo prático: provar que
\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\}=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 2

Ideia da prova (estratégia simples que dá para fazer na prova).
Uma maneira direta é encontrar um par de vetores w_{1},w_{2} tal que ambos conjuntos gerem \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}. Para isso é suficiente mostrar as duas inclusões:
\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\subseteq\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\} \quad\text{e}\quad \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\subseteq\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\},
ou, equivalente e mais prático aqui, mostrar que cada vetor w_1,w_2 pode ser escrito como combinação linear de u_1,u_2 e também como combinação linear de v_1,v_2. Vou escolher os vetores que aparecem naturalmente no escalonamento sugerido:
w_{1}=(1,-1,2),\qquad w_{2}=(0,3,-5).
Note que w_{1}=u_{1} já, então basta mostrar w_{2}\in\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\} e também w_{1},w_{2}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.
Antes de calcular, lembrete do que é span e combinação linear:
\operatorname{span}\{a,b\}=\{\alpha a+\beta b\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
Se um vetor aparece como \alpha a+\beta b, então ele pertence ao span de \{a,b\}.

Passo 3

Mostrar que w_{2}=(0,3,-5) é combinação linear de u_{1} e u_{2}.
Calcule a combinação u_{2}-3u_{1}:
u_{2}-3u_{1}=(3,0,1)-3(1,-1,2).
Agora faça as contas coordenada a coordenada:
(3,0,1)-3(1,-1,2)=(3-3,\;0+3,\;1-6)=(0,3,-5).
Portanto
w_{2}=u_{2}-3u_{1},
o que significa w_{2}\in\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\}. Já que w_{1}=u_{1}, segue
\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\subseteq\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\}.

Passo 4

Mostrar que w_{1} e w_{2} são combinações lineares de v_{1},v_{2}.
Primeiro achamos escalares a,b tais que a v_{1}+b v_{2}=w_{1}=(1,-1,2). Ou seja, resolver
a(-1)+b(3)=1,\qquad a(-2)+b(3)=-1,\qquad a(3)+b(-4)=2.
Basta resolver as duas primeiras equações (sistema consistente): da primeira temos -a+3b=1. Da segunda temos -2a+3b=-1. Subtraindo as duas equações:
(-2a+3b)-(-a+3b)=-1-1 \Rightarrow -a=-2 \Rightarrow a=2.
Substituindo em -a+3b=1:
-2+3b=1 \Rightarrow 3b=3 \Rightarrow b=1.
Verificação rápida na terceira coordenada:
3a-4b=3\cdot2-4\cdot1=6-4=2,
coincide com a terceira coordenada de w_{1}. Logo
w_{1}=2v_{1}+1v_{2}.
Agora escrevemos w_{2} como combinação de v_{1},v_{2}. Observe que
v_{2}+3v_{1}=(3,3,-4)+3(-1,-2,3)=(0,-3,5).
Tomando o oposto:
-w_{2}=v_{2}+3v_{1}\quad\Rightarrow\quad w_{2}=-v_{2}-3v_{1}.
Portanto w_{2}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}. Como também w_{1}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, concluímos
\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\subseteq\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 5

Concluir a igualdade dos subespaços a partir das inclusões.
Do Passo 3 obtivemos
\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\subseteq\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\},
e do Passo 4 obtivemos
\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\subseteq\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.
Mas como w_{1},w_{2} estão em ambos spans, cada um dos spans originais contém \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}. Em particular, combinando as informações e observando que ambos spans têm dimensão no máximo 2 (são gerados por dois vetores), segue que ambos os spans coincidem com \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}. Em termos simples:
\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\}=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 6

Comentário conceitual e ligação com escalonamento (dica do enunciado).
  • Quando usamos operações elementares sobre as linhas de uma matriz cujas linhas são os vetores geradores, cada nova linha obtida é uma combinação linear das linhas anteriores. Portanto operações elementares (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) não mudam o subespaço gerado pelas linhas: elas apenas trocam o conjunto gerador por outro conjunto que gera o mesmo espaço. Isso é exatamente o que foi usado implicitamente ao escalonar as matrizes no enunciado.
  • No exercício os escalonamentos efetuados levam ambos os pares de vetores ao mesmo par de linhas (1,-1,2) e (0,3,-5) (até sinais e combinações), o que confirma que ambos os conjuntos geram o mesmo subespaço.

Resposta

\operatorname{span}\{(1,-1,2),(3,0,1)\}=\operatorname{span}\{(-1,-2,3),(3,3,-4)\}=\operatorname{span}\{(1,-1,2),(0,3,-5)\}

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