Mostrar que os dois conjuntos \{(1,-1,2),(3,0,1)\} e \{(-1,-2,3),(3,3,-4)\} geram o mesmo subespaço do \mathbb{R}^{3}.
Dica: Escalonamento sobre a matriz formada por vetores dados como linhas, temos novas linhas que geram o mesmo subespaço.
Ideia da prova (estratégia simples que dá para fazer na prova).
Uma maneira direta é encontrar um par de vetores w_{1},w_{2} tal que ambos conjuntos gerem \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}. Para isso é suficiente mostrar as duas inclusões:
ou, equivalente e mais prático aqui, mostrar que cada vetor w_1,w_2 pode ser escrito como combinação linear de u_1,u_2 e também como combinação linear de v_1,v_2. Vou escolher os vetores que aparecem naturalmente no escalonamento sugerido:
w_{1}=(1,-1,2),\qquad w_{2}=(0,3,-5).
Note que w_{1}=u_{1} já, então basta mostrar w_{2}\in\operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\} e também w_{1},w_{2}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.
Antes de calcular, lembrete do que é span e combinação linear:
Mas como w_{1},w_{2} estão em ambos spans, cada um dos spans originais contém \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}. Em particular, combinando as informações e observando que ambos spans têm dimensão no máximo 2 (são gerados por dois vetores), segue que ambos os spans coincidem com \operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}. Em termos simples:
Comentário conceitual e ligação com escalonamento (dica do enunciado).
Quando usamos operações elementares sobre as linhas de uma matriz cujas linhas são os vetores geradores, cada nova linha obtida é uma combinação linear das linhas anteriores. Portanto operações elementares (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) não mudam o subespaço gerado pelas linhas: elas apenas trocam o conjunto gerador por outro conjunto que gera o mesmo espaço. Isso é exatamente o que foi usado implicitamente ao escalonar as matrizes no enunciado.
No exercício os escalonamentos efetuados levam ambos os pares de vetores ao mesmo par de linhas (1,-1,2) e (0,3,-5) (até sinais e combinações), o que confirma que ambos os conjuntos geram o mesmo subespaço.