Considere \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(2 x^{2}+6 y^{2}\right) \ln (6 x y). Quanto vale \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) ?
Escolha uma opção:
◯ a. \quad 6 x \ln (6 x y)
◯ b. \quad \frac{2 x^{2}+6 y^{2}}{x}+4 x \ln (6 x y)
◯ c. \quad \frac{2 x^{2}+6 y^{2}}{x}+2 x \ln (6 x y)
◯ d. \frac{x^{2}+y^{2}}{x}+4 x \ln (6 x y)
◯ e. \quad \frac{2 x^{2}+6 y^{2}}{6 x y}+\ln (6 x y)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}) = \left(2 x^{2}+6 y^{2}\right)\ln(6 x y) e pede a derivada parcial de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de duas partes que dependem de x: 2x^{2}+6y^{2} e \ln(6xy).
  • Ao derivar parcialmente em relação a x, y é tratado como constante.
  • Foram disponibilizadas opções de resposta (a) a (e) para escolher.

Passo 2

Identificar as duas funções que formam o produto e lembrar a regra do produto. Definir:
g(x)=2x^{2}+6y^{2}, \qquad h(x)=\ln(6xy).
A regra do produto diz que, para f(x)=g(x)h(x),
f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Aqui g'(x) é a derivada de g em relação a x e h'(x) é a derivada de h em relação a x.

Passo 3

Calcular g'(x). Como y é constante,
g(x)=2x^{2}+6y^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(6y^{2}\bigr).
A derivada de 2x^{2} é 4x e a derivada de 6y^{2} em relação a x é 0 (porque y é constante). Logo
g'(x)=4x.

Passo 4

Calcular h'(x) usando a regra da cadeia. Colocar u(x)=6xy, então h(x)=\ln(u(x)). A derivada de \ln(u) é \dfrac{1}{u}\,u'. Portanto:
u(x)=6xy\quad\Rightarrow\quad u'(x)=6y,
h'(x)=\frac{1}{u(x)}\,u'(x)=\frac{6y}{6xy}=\frac{1}{x}.
Observação rápida: isso coincide com a derivada conhecida \dfrac{d}{dx}\ln(ax)=\dfrac{1}{x} quando a e y são constantes e a y=6y só escala.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os derivadas obtidas:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Substituindo g'(x)=4x, h(x)=\ln(6xy), g(x)=2x^{2}+6y^{2} e h'(x)=\dfrac{1}{x}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x\ln(6xy)+\frac{2x^{2}+6y^{2}}{x}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada corresponde exatamente à alternativa (b).

Resposta

b. \dfrac{2 x^{2}+6 y^{2}}{x}+4 x \ln (6 x y)

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