Considere a matriz
A=[ccc 0 & -1 & 0 3 & -3 & -1 1 & 0 & -2 ]
Determine A^3 utilizando o Teorema de Cayley-Hamilton, isto é, o fato de que De<a(A)=0. Verifique o resultado comparando com A^3 calculado pelo produto de A por ela mesma 3 vezes.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 0 & -1 & 0 3 & -3 & -1 1 & 0 & -2
e pede para calcular A^3 usando o Teorema de Cayley–Hamilton ( De<a(A)=0) e depois verificar o resultado por multiplicação direta.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico De<a(lambda)=det(lambda I - A). Primeiro escrevemos
lambda I - A = lambda & 1 & 0 -3 & lambda+3 & 1 -1 & 0 & lambda+2
Fazendo a expansão pela primeira linha,
De<a(lambda) =lambdal((lambda+3)(lambda+2)-0r) -1l((-3)(lambda+2)-1cdot(-1)r) =lambda(lambda+3)(lambda+2)+3lambda+5,
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De<a(lambda)=lambda^3+5lambda^2+9lambda+5

Passo 3

Pelo Teorema de Cayley–Hamilton temos De<a(A)=0, isto é,
A^3+5A^2+9A+5I=0
Desse modo
A^3=-5A^2-9A-5I

Passo 4

Agora calculamos A^2 diretamente:
A^2 =Acdot A = -3 & 3 & 1 -10 & 6 & 5 -2 & -1 & 4

Passo 5

Substituindo na expressão de A^3:
-5A^2 = 15 & -15 & -5 50 & -30 & -25 10 & 5 & -20 , -9A = 0 & 9 & 0 -27 & 27 & 9 -9 & 0 & 18 , -5I = -5 & 0 & 0 0 & -5 & 0 0 & 0 & -5
Somando essas três matrizes obtemos
A^3 = 10 & -6 & -5 23 & -8 & -16 1 & 5 & -7

Passo 6

Para verificar, calculamos diretamente Acdot A^2:
Acdot A^2 = 0 & -1 & 0 3 & -3 & -1 1 & 0 & -2 -3 & 3 & 1 -10 & 6 & 5 -2 & -1 & 4 = 10 & -6 & -5 23 & -8 & -16 1 & 5 & -7 ,
que coincide com o resultado via Cayley–Hamilton.

Resposta

A^3= 10 & -6 & -5 23 & -8 & -16 1 & 5 & -7

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