Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
que é da forma geral
com
,
,
,
,
,
.
Para classificar e colocar em forma padrão, vamos usar rotação de eixos para eliminar o termo (já que
) e depois translação de eixos para completar quadrados.
Para classificar e colocar em forma padrão, vamos usar rotação de eixos para eliminar o termo
Passo 2
Calculamos o discriminante para identificar o tipo de cônica:
logo é uma elipse (rotacionada).
O ângulo de rotação satisfaz
O ângulo de rotação
Tomando
temos
Definimos a rotação
Passo 3
Substituindo na cônica original e agrupando, obtém-se a forma sem termo misto:
Aqui usamos fórmulas padrão para os coeficientes após rotação:
Passo 4
Agora completamos quadrados:
Para :
Para
Para
:
Somando e igualando a zero:
Dividindo por
:
Resposta
A cônica é uma elipse, com centro em
no sistema original, girada de um ângulo
.
Sua forma padrão nos eixos é
Sua forma padrão nos eixos
onde
Os semieixos valem
e
.