Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
17 x^2-12 x y+8 y^2-68 x+24 y=12

Passo 1

O enunciado dá a cônica
17x^2-12xy+8y^2-68x+24y=12
que é da forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
com A=17, B=-12, C=8, D=-68, E=24, F=-12.
Para classificar e colocar em forma padrão, vamos usar rotação de eixos para eliminar o termo xy (já que Bneq0) e depois translação de eixos para completar quadrados.

Passo 2

Calculamos o discriminante para identificar o tipo de cônica:
De<a = B^2-4AC = (-12)^2-4cdot17cdot8 =144-544=-400<0,
logo é uma elipse (rotacionada).
O ângulo de rotação theta satisfaz
tan(2theta)=BA-C=-1217-8=-129=-43
Tomando
cos2theta=35, sin2theta=-45,
temos
costheta=raiz1+cos2theta2=2raiz5, sintheta=-raiz1-cos2theta2=-1raiz5
Definimos a rotação
x = Xcostheta - Ysintheta = 2X+Yraiz5, y = Xsintheta + Ycostheta = -X+2Yraiz5

Passo 3

Substituindo na cônica original e agrupando, obtém-se a forma sem termo misto:
20X^2+5Y^2-32raiz5,X-4raiz5,Y-12=0
Aqui usamos fórmulas padrão para os coeficientes após rotação:
A'=20, C'=5, D'=-32raiz5, E'=-4raiz5, F'=-12

Passo 4

Agora completamos quadrados:
Para X:
20l(X^2-tfrac8raiz55Xr) =20l[(X-tfrac4raiz55)^2-tfrac165r] =20(X-tfrac4raiz55)^2-64
Para Y:
5l(Y^2-tfrac4raiz55Yr) =5l[(Y-tfrac2raiz55)^2-tfrac45r] =5(Y-tfrac2raiz55)^2-4
Somando e igualando a zero:
20(X-tfrac4raiz55)^2+5(Y-tfrac2raiz55)^2-64-4-12=0
Longrightarrow20(X-tfrac4raiz55)^2+5(Y-tfrac2raiz55)^2=80
Dividindo por 80:
(X-tfrac4raiz55)^24+(Y-tfrac2raiz55)^216=1

Resposta

A cônica é uma elipse, com centro em (2,0) no sistema original, girada de um ângulo
theta=tfrac12arctanl(-tfrac43r).
Sua forma padrão nos eixos (X,Y) é
l(X-tfrac4raiz55r)^24 +l(Y-tfrac2raiz55r)^216=1,
onde
x=2X+Yraiz5, y=-X+2Yraiz5
Os semieixos valem 2 e 4.

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