Identifique as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma padrão.
3 x^2-10 x y+3 y^2+x=32

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
3x^2-10xy+3y^2+x=32
e pede sua identificação e a escrita na forma padrão.
Conteúdo: conicas com termo misto xy; precisamos classificar (círculo, elipse, parábola ou hipérbole), encontrar o ângulo de rotação para eliminar o termo xy, definir novas variáveis (x',y'), e completar quadrados para chegar à forma padrão.

Passo 2

Classificação pelo discriminante B^2-4AC, onde na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0 temos A=3, B=-10, C=3.
B^2-4AC = (-10)^2 -4cdot3cdot3 =100 -36 =64 >0
Como B^2-4AC>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

Para eliminar o termo misto, usamos rotação de eixos. O ângulo theta satisfaz
tan(2theta) = BA-C = -103-3 = -infty Longrightarrow 2theta = -pi2 Longrightarrow theta = -pi4
Definimos então
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta,
com costheta=tfracraiz22, sintheta=-tfracraiz22. Logo
x = x'+y'raiz2, y = -,x'+y'raiz2

Passo 4

Substituindo em 3x^2-10xy+3y^2 obtemos, sem o termo misto,
-2,x'^2 ;+;8,y'^2
O termo linear +x vira
x = x'+y'raiz2 ;Longrightarrow; +1raiz2,x' ;+;1raiz2,y'
Assim a equação em (x',y') fica
-2,x'^2 +8,y'^2 +1raiz2,x' +1raiz2,y' -32 =0

Passo 5

Agrupamos e completamos quadrados separadamente em x' e y':
Para x':
-2l(x'^2-tfrac12raiz2x'r) = -2l[l(x'-tfrac14raiz2r)^2-tfrac132r] = -2l(x'-tfrac14raiz2r)^2 + tfrac116
Para y':
8l(y'^2+tfrac18raiz2y'r) = 8l[l(y'+tfrac116raiz2r)^2-tfrac1512r] = 8l(y'+tfrac116raiz2r)^2 - tfrac164
Somando e reinserindo -32, a equação vira
-2l(x'-tfrac14raiz2r)^2 +8l(y'+tfrac116raiz2r)^2 -32 + tfrac116 - tfrac164 =0
O termo constante -32 + tfrac116-tfrac164 = -tfrac204564. Assim
-2l(x'-tfrac14raiz2r)^2 +8l(y'+tfrac116raiz2r)^2 = 204564
Dividindo por tfrac204564 e reordenando para a forma padrão de hipérbole ( +y'^2 antes de -x'^2):

Resposta

l(y'+tfrac116raiz2r)^2tfrac2045512 ;-; l(x'-tfrac14raiz2r)^2tfrac2045128 ;=;1,
que é uma hipérbole centrada em
l(x',y'r)=l(tfrac14raiz2,,-tfrac116raiz2r)
no sistema rotacionado de ângulo -45^circ.

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