Considere a matriz A=(ccccc1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0).
(a) Escreva as soluções do sistema A x=0 na forma vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as soluções do sistema linear homogêneo , onde é uma matriz dada. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de redução de matrizes (como a eliminação de Gauss) para encontrar todas as possíveis soluções vetoriais que satisfazem esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que é basicamente a matriz (ccccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 0 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 ) junto com uma coluna de zeros:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar facilmente as variáveis livres e as variáveis básicas.
Primeiro, subtrai a primeira linha da segunda e da terceira linhas para eliminar o primeiro elemento dessas linhas:
(ccccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 0 & 3 & -3 & 2 & -2 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 )

Passo 4

Em seguida, vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por -1:
(ccccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 3 & -3 & 2 & -2 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 )
Agora, vamos eliminar o segundo elemento das linhas terceira e quarta, subtraindo 3 vezes a segunda linha da terceira e a segunda linha da quarta:
(ccccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 )

Passo 5

Perceba que as linhas terceira e quarta são iguais, então podemos eliminar uma delas:
(ccccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 )
Agora, vamos simplificar a terceira linha multiplicando-a por -1:
(ccccc|c 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 )

Passo 6

Vamos usar a terceira linha para eliminar o quarto elemento da primeira e da segunda linhas. Subtraímos a terceira linha da primeira e da segunda:
Primeira linha: (ccccc|c 1 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 )
Segunda linha:

Passo 7

Agora, temos o sistema simplificado:
x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 3x5 = 0 0x1 + x2 - x3 + 0x4 + 0x5 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 - x5 = 0
Podemos reescrever isso para expressar as variáveis básicas em termos das variáveis livres. Vamos escolher x2 = x3 e x4 = x5 como variáveis livres.
Da segunda equação:
x1 + 2x2 + 3x5 = 0 implies x1 = -2x2 - 3x5 = -2x3 - 3x5
Da terceira equação:
Da primeira equação:

Passo 8

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x1 = -2x3 - 3x5 x2 = x3 x4 = x5 x3 = x3 x5 = x5 e :

Passo 9

Para escrever a solução na forma vetorial, vamos utilizar os parâmetros x = s -2 1 1 0 0 + t -3 0 0 1 1 e , onde e são números reais quaisquer:

Resposta

As soluções do sistema x = s -2 1 1 0 0 + t -3 0 0 1 1 , onde s, t in R na forma vetorial são:

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