Considere a matriz
A=[ccc 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2 ]
Determine os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2
e pede os autovalores. Para isso, vamos usar o conceito de polinômio característico, ou seja, calcular
detl(A - lambda Ir)=0

Passo 2

Escrevemos
A - lambda I = -lambda & 7 & -6 -1 & 4-lambda & 0 0 & 2 & -2-lambda
e expandimos a determinação por cofactores ao longo da primeira linha:
det(A-lambda I) = -lambdadet4-lambda&02&-2-lambda -7det-1&00&-2-lambda +(-6)det-1&4-lambda0&2
Calculando cada menor:
det4-lambda&02&-2-lambda =(4-lambda)(-2-lambda), det-1&00&-2-lambda =(-1)(-2-lambda), det-1&4-lambda0&2 =-1cdot2
Assim
det(A-lambda I) =lambda(4-lambda)(2+lambda) -7(2+lambda) +12

Passo 3

Vamos simplificar o polinômio:
det(A-lambda I) =(2+lambda)l[lambda(4-lambda)-7r]+12 =(2+lambda)l(-lambda^2+4lambda-7r)+12
Expandindo e rearranjando, obtemos
det(A-lambda I) =-lambda^3+2lambda^2+lambda-2 Longrightarrow lambda^3-2lambda^2-lambda+2=0
Testando raízes inteiras, lambda=1 zera o polinômio. Dividindo por lambda-1, o quociente é
lambda^2-lambda-2=(lambda-2)(lambda+1)

Passo 4

Das fatorações chegamos a
(lambda-1)(lambda-2)(lambda+1)=0,
logo os autovalores são lambda=1, lambda=2 e lambda=-1.

Resposta

lambda1=1, lambda2=2, lambda3=-1.

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