Dado ABCD um tetraedro, seja M o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC. Exprima o vetor D M em função dos vetores D A, D B e D C.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro ABCD e diz que M é o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC. O conteúdo é geometria vetorial: vamos usar a propriedade de que o centróide de um triângulo tem vetor posição igual à média dos vetores posição dos seus vértices.

Passo 2

Escolha um ponto de referência O qualquer e chame rX o vetor posição de um ponto X. Como M é o centróide de ABC, temos
rM ;=;rA+rB+rC3

Passo 3

O vetor D M é a diferença entre as posições de M e D:
D M ;=;rM-rD ;=;rA+rB+rC3-rD ;=;(rA-rD)+(rB-rD)+(rC-rD)3

Passo 4

Reconhecendo que rA-rD=D A, rB-rD=D B e rC-rD=D C, obtemos
D M =D A+D B+D C3

Resposta

D M = D A + D B + D C3

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