Dado ABCD um tetraedro, seja o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC. Exprima o vetor em função dos vetores D A, D B e D C.
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro ABCD e diz que M é o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC. O conteúdo é geometria vetorial: vamos usar a propriedade de que o centróide de um triângulo tem vetor posição igual à média dos vetores posição dos seus vértices.
Passo 2
Escolha um ponto de referência O qualquer e chame rX o vetor posição de um ponto X. Como M é o centróide de ABC, temos
rM ;=;rA+rB+rC3
Passo 3
O vetor D M é a diferença entre as posições de M e D:
D M ;=;rM-rD ;=;rA+rB+rC3-rD ;=;(rA-rD)+(rB-rD)+(rC-rD)3
Passo 4
Reconhecendo que rA-rD=D A, rB-rD=D B e rC-rD=D C, obtemos