Seja o espaço vetorial de todas as funções com valores reais definidas em . Sejam o conjunto de todas as funções pares e o conjunto de todas as funções ímpares.
(a) Mostre que e são subespaços vetoriais de .
(b) Mostre que a transformação dada por é linear.
(c) Seja uma base ordenada para . Encontre a matriz de definida por em relação à base ordenada .
(d) Seja um espaço vetorial com produto interno e um subespaço de com dimensão finita. Mostre que .
(e) Seja com o produto interno
e seja para algum inteiro positivo . Encontre uma base ortonormal para .
(f) Encontre a melhor aproximação para por funções de .
(g) Seja a projeção ortogonal sobre , isto é, . Mostre que é um operador linear.
(h) Determine o núcleo e a imagem de .
(i) Encontre a representação matricial de em relação à base de e à base ortonormal .
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial de todas as funções reais em , os subconjuntos das funções pares e das funções ímpares, a transformação dada por , o subespaço de polinômios de grau com base , espaços com produto interno e projeção ortogonal, e por fim um caso concreto em com as funções . Para resolver precisamos:
– testar subespaços (fechamento em soma e escalar);
– verificar linearidade de ;
– calcular em vetores de base e montar a matriz;
– usar o Teorema da Decomposição Ortogonal em espaços com produto interno;
– ortonormalizar as cossenos (na verdade já são ortogonais) e normalizar;
– projetar sobre esse subespaço (coeficientes de série de Fourier-cosseno);
– mostrar que projeção ortogonal é operador linear;
– identificar núcleo e imagem;
– escrever a matriz de projeção entre as bases dadas.
Passo 2
(a) Seja a função nula. Tem e é par e ímpar, logo . Se e são pares, , então é par; e para escalar . O mesmo vale em : se são ímpares e . Assim e são subespaços de .
Passo 3
(b) Para e escalar temos
Logo é linear.
Passo 4
(c) Em com base temos
Na base ordenada isso dá a matriz diagonal
Passo 5
(d) No espaço com produto interno V e subespaço finito W, todo vin V tem decomposição única v=w+w' com win W e w'in W^perp. Isso se obtém projetando v em W (por Gram–Schmidt ou fórmula da projeção) e verificando que v-w é ortogonal a W. Assim
V = W oplus W^perp
Passo 6
(e) Em com temos a ortogonalidade padrão
Além disso e para . Logo a base ortonormal de
é
Passo 7
(f) A melhor aproximação de em é sua projeção
Calcula-se
í
Em termos de cossenos não normalizados isso dá
]
Passo 8
(g) A projeção ortogonal , , é linear porque
e
seguindo da fórmula em base ortonormal.
Passo 9
(h) Pelo fato de se e só se , segue
e como para todo , temos
Passo 10
(i) Se é base de e a base ortonormal de , a matriz de é
Em particular cada coluna contém as coordenadas do monômio na base ortonormal .
Resposta
(a) são subespaços de .
(b) é linear.
(c) .
(d) .
(e) .
(f) í.
(g) é linear.
(h) .
(i) tem entradas .