Seja V o espaço vetorial de todas as funções com valores reais definidas em R. Sejam W1 o conjunto de todas as funções pares e W2 o conjunto de todas as funções ímpares.
(a) Mostre que W1 e W2 são subespaços vetoriais de V.
(b) Mostre que a transformação T: V V dada por (T f)(x)=f(-x) é linear.
(c) Seja B=1, t, t^2, t^3 uma base ordenada para P3. Encontre a matriz [T]B de T: P3 P3 definida por (T p)(t)=p(-t) em relação à base ordenada B.
(d) Seja V um espaço vetorial com produto interno e W um subespaço de V com dimensão finita. Mostre que V=W oplus W^perp.
(e) Seja V=C[0, pi] com o produto interno
<f, g>=integral0^pi f(t) g(t) d t
e seja W=span(1, cos t, cos 2 t, ldots, cos n t) para algum inteiro positivo n. Encontre uma base ortonormal para W.
(f) Encontre a melhor aproximação para f(t)=t por funções de W.
(g) Seja T: V W a projeção ortogonal sobre W, isto é, T(v)=projW v. Mostre que T é um operador linear.
(h) Determine o núcleo e a imagem de T.
(i) Encontre a representação matricial de T em relação à base B=1, t, t^2, ldots, t^n de V e à base ortonormal B^*=phi1, phi2, phi3.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial V de todas as funções reais em R, os subconjuntos W1 das funções pares e W2 das funções ímpares, a transformação Tcolon Vto V dada por (Tf)(x)=f(-x), o subespaço P3 de polinômios de grau <=3 com base B=1,t,t^2,t^3, espaços com produto interno e projeção ortogonal, e por fim um caso concreto em C[0,pi] com as funções 1,cos t,cos2t,dots,cos n t. Para resolver precisamos:
– testar subespaços (fechamento em soma e escalar);
– verificar linearidade de T;
– calcular T em vetores de base e montar a matriz;
– usar o Teorema da Decomposição Ortogonal em espaços com produto interno;
– ortonormalizar as cossenos (na verdade já são ortogonais) e normalizar;
– projetar f(t)=t sobre esse subespaço (coeficientes de série de Fourier-cosseno);
– mostrar que projeção ortogonal é operador linear;
– identificar núcleo e imagem;
– escrever a matriz de projeção entre as bases dadas.

Passo 2

(a) Seja ,0 a função nula. Tem ,0(-x)=0(x) e ,0 é par e ímpar, logo 0in W1cap W2. Se f e g são pares, (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), então f+g é par; e para escalar alpha(f)(-x)=alpha f(-x)=alpha f(x). O mesmo vale em W2: se f,g são ímpares (f+g)(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x) e (alpha f)(-x)=alpha(-f(x))=-(alpha f)(x). Assim W1 e W2 são subespaços de V.

Passo 3

(b) Para f,gin V e escalar alpha temos
T(f+g)(x)= (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=Tf(x)+Tg(x),
T(alpha f)(x)=alpha f(-x)=alpha,Tf(x)
Logo T é linear.

Passo 4

(c) Em P3 com base B=1,t,t^2,t^3 temos
T(1)=1, T(t)=-t, T(t^2)=t^2, T(t^3)=-t^3
Na base ordenada isso dá a matriz diagonal
[T]B= 1&0&0&0 0&-1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&-1

Passo 5

(d) No espaço com produto interno V e subespaço finito W, todo vin V tem decomposição única v=w+w' com win W e w'in W^perp. Isso se obtém projetando v em W (por Gram–Schmidt ou fórmula da projeção) e verificando que v-w é ortogonal a W. Assim
V = W oplus W^perp

Passo 6

(e) Em com temos a ortogonalidade padrão
Além disso e para . Logo a base ortonormal de
é

Passo 7

(f) A melhor aproximação de em é sua projeção
Calcula-se
í
Em termos de cossenos não normalizados isso dá
]

Passo 8

(g) A projeção ortogonal , , é linear porque

e

seguindo da fórmula em base ortonormal.

Passo 9

(h) Pelo fato de se e só se , segue
e como para todo , temos

Passo 10

(i) Se é base de e a base ortonormal de , a matriz de é
Em particular cada coluna contém as coordenadas do monômio na base ortonormal .

Resposta

(a) são subespaços de .
(b) é linear.
(c) .
(d) .
(e) .
(f) í.
(g) é linear.
(h) .
(i) tem entradas .

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