Aplique o método de Jacobi para resolver os seguintes sistemas de equações não lineares:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{3}-x_{2}^{2}=0 \\\ x_{1}+x_{1}^{2} x_{2}=2\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede: “Aplique o método de Jacobi para resolver o sistema não linear”
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{3}-x_{2}^{2}=0,\\[4pt] x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}=2. \end{array}\right.
  • Informações dadas pelo enunciado: as duas equações do sistema acima. Não foi fornecido chute inicial nem tolerância, então vou:
    • mostrar como construir uma iteração do tipo Jacobi (forma de ponto fixo componente a componente);
    • analisar a convergência local dessa iteração (condição típica para Jacobi não linear: o mapa de iteração deve ser contração localmente);
    • exemplificar iterações numéricas para ilustrar o comportamento;
    • verificar também a solução exata (se houver).]

Passo 2

Transformar o sistema numa forma de ponto fixo (escrever cada variável em função das outras, no espírito Jacobi).
A ideia do método de Jacobi (para sistemas não lineares) é escrever
x_1 = g_1(\text{velhos }x),\qquad x_2 = g_2(\text{velhos }x),
e então atualizar simultaneamente
x_1^{(k+1)} = g_1\big(x_1^{(k)},x_2^{(k)}\big),\qquad x_2^{(k+1)} = g_2\big(x_1^{(k)},x_2^{(k)}\big).
Uma escolha natural (explícita) a partir das equações é isolar cada incógnita usando apenas a outra variável no lado direito, assim o esquema fica no “espírito Jacobi” (cada componente depende da outra, não de si mesma no RHS):
  • Da primeira equação x_{1}^{3}-x_{2}^{2}=0 obtemos (tomando a raiz cúbica):
x_1 = \big(x_2^2\big)^{1/3} = x_2^{2/3}.
  • Da segunda equação x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}=2 isolamos x_2 (desde que x_1\neq 0):
x_2 = \frac{2-x_1}{x_1^2}.
Portanto uma forma de ponto fixo adequada é
g_1(x_1,x_2) = x_2^{2/3},\qquad g_2(x_1,x_2) = \frac{2-x_1}{x_1^2}.

Passo 3

Escrever explicitamente o esquema de iteração de Jacobi (com as funções escolhidas).
O método de Jacobi aplicado com as g_i acima dá, para k=0,1,2,\dots,
x_1^{(k+1)} = \big(x_2^{(k)}\big)^{2/3},\qquad x_2^{(k+1)} = \frac{2 - x_1^{(k)}}{\big(x_1^{(k)}\big)^2},
desde que x_1^{(k)}\neq 0 em cada iteração (para evitar divisão por zero) e, para a raiz cúbica real, assumimos x_2^{(k)} real (a expressão x_2^{2/3} é bem definida como x_2^{2/3}=|x_2|^{2/3}, mas é mais simples trabalhar em torno de soluções com x_2>0).
Antes de iterar, convém ver se já existe solução óbvia do sistema: verificar se (1,1) é solução.
  • Primeira equação: 1^3 - 1^2 = 1 -1 = 0.
  • Segunda equação: 1 + 1^2\cdot 1 = 1 +1 = 2.
Logo (x_1,x_2)=(1,1) é uma solução exata do sistema.

Passo 4

Analisar a convergência local do mapa de iteração g=(g_1,g_2). Por que isso é importante? Porque o método de Jacobi per se é uma iteração de ponto fixo: se g for uma contração numa vizinhança da solução, as iterações convergem localmente para a solução; caso contrário, podem divergir ou oscilar.
Calcular a Jacobiana do mapa g:
J_g(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} \partial g_1/\partial x_1 & \partial g_1/\partial x_2\\[6pt] \partial g_2/\partial x_1 & \partial g_2/\partial x_2 \end{pmatrix}.
Para as nossas g:
  • g_1(x_1,x_2)=x_2^{2/3} não depende de x_1, então \partial g_1/\partial x_1=0. E
\frac{\partial g_1}{\partial x_2}=\frac{2}{3}\,x_2^{-1/3},
válido para x_2>0.
  • g_2(x_1,x_2)=\dfrac{2-x_1}{x_1^2}=2x_1^{-2}-x_1^{-1} (não depende de x_2), então \partial g_2/\partial x_2=0 e
\frac{\partial g_2}{\partial x_1} = \frac{d}{dx_1}\Big(2x_1^{-2}-x_1^{-1}\Big) = -4x_1^{-3}+x_1^{-2}.
Avaliar J_g no ponto solução (1,1):
J_g(1,1)= \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{2}{3}\\[8pt] -3 & 0 \end{pmatrix},
porque \dfrac{2}{3}1^{-1/3}=\dfrac{2}{3} e -4\cdot1^{-3}+1^{-2}=-4+1=-3.
Agora achar os autovalores de J_g(1,1). A matriz tem traço zero e determinante
\det J_g(1,1)=0\cdot 0 - \frac{2}{3}\cdot(-3)=2.
Os autovalores satisfazem \lambda^2=\det J_g(1,1)=2, isto é
\lambda=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}4142.
A magnitude máxima dos autovalores (raio espectral) é \rho(J_g(1,1))=\sqrt{2}>1.
Conclusão teórica: o mapa g NÃO é uma contração local em torno de (1,1) (raio espectral maior que 1). Assim, a iteração de ponto fixo do tipo Jacobi com as escolhas g_1=x_2^{2/3}, g_2=(2-x_1)/x_1^2 NÃO tem garantia de convergência local; de fato, espera-se comportamento oscilatório ou divergente perto da solução.]

Passo 5

Mostrar isso numericamente com algumas iterações (exemplo prático). Vou escolher um chute inicial razoável e não nulo, por exemplo
(x_1^{(0)},x_2^{(0)})=(0{,}8,\;0{,}8).
Aplicando a regra de Jacobi do Passo 3:
  • Iteração k=0\to1:
x_1^{(1)}=(x_2^{(0)})^{2/3}=0{,}8^{2/3}\approx 0{,}8686,\qquad x_2^{(1)}=\frac{2-x_1^{(0)}}{(x_1^{(0)})^2}=\frac{2-0{,}8}{0{,}64}=1{,}875.
  • Iteração k=1\to2:
x_1^{(2)}=(x_2^{(1)})^{2/3}\approx 1{,}875^{2/3}\approx 1{,}492,\qquad x_2^{(2)}=\frac{2-x_1^{(1)}}{(x_1^{(1)})^2} =\frac{2-0{,}8686}{0{,}7545}\approx 1{,}490.
  • Iteração k=2\to3:
x_1^{(3)}=(x_2^{(2)})^{2/3}\approx 1{,}490^{2/3}\approx 1{,}276,\qquad x_2^{(3)}=\frac{2-x_1^{(2)}}{(x_1^{(2)})^2} =\frac{2-1{,}492}{2{,}225}\approx 0{,}227.
Já se vê comportamento oscilatório/instável: os valores saltam e não se aproximam monotonicamente de (1,1). Dependendo do chute inicial, as iterações podem divergir ou oscilar; isto confirma a previsão feita pela análise linearizada (raio espectral >1).

Passo 6

Interpretação prática e solução do sistema.
  • O sistema tem a solução exata (x_1,x_2)=(1,1) (verificado diretamente).
  • O método de Jacobi, com a escolha natural de ponto fixo x_1=x_2^{2/3}, x_2=(2-x_1)/x_1^2, gera um mapa cuja Jacobiana em (1,1) tem autovalores de módulo >\!1; por isso essa iteração NÃO é localmente convergente em geral. Numérico confirma: iterações podem oscilar ou divergir.
  • Conclusão prática: embora a solução seja (1,1), aplicar o esquema Jacobi direto (com as g_i acima) não é uma boa estratégia para encontrar a solução numericamente, pois falta a condição de contração. Métodos alternativos mais robustos são:
    • usar Newton (método de Newton-Raphson para sistemas) — que costuma convergir rapidamente se o chute inicial estiver razoavelmente perto;
    • tentar reescrever o sistema em outra forma de ponto fixo cujo Jacobiano tenha norma menor que 1 na vizinhança da solução (nem sempre possível);
    • aplicar métodos de relaxação ou híbridos.

Resposta

(x_1,x_2)=(1,1)

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