Aplique o método de Jacobi para resolver os seguintes sistemas de equações não lineares: \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{3}-x_{2}^{2}=0 \\\ x_{1}+x_{1}^{2} x_{2}=2\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
Pede: “Aplique o método de Jacobi para resolver o sistema não linear”
Uma escolha natural (explícita) a partir das equações é isolar cada incógnita usando apenas a outra variável no lado direito, assim o esquema fica no “espírito Jacobi” (cada componente depende da outra, não de si mesma no RHS):
Da primeira equação x_{1}^{3}-x_{2}^{2}=0 obtemos (tomando a raiz cúbica):
x_1 = \big(x_2^2\big)^{1/3} = x_2^{2/3}.
Da segunda equação x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}=2 isolamos x_2 (desde que x_1\neq 0):
desde que x_1^{(k)}\neq 0 em cada iteração (para evitar divisão por zero) e, para a raiz cúbica real, assumimos x_2^{(k)} real (a expressão x_2^{2/3} é bem definida como x_2^{2/3}=|x_2|^{2/3}, mas é mais simples trabalhar em torno de soluções com x_2>0).
Antes de iterar, convém ver se já existe solução óbvia do sistema: verificar se (1,1) é solução.
Primeira equação: 1^3 - 1^2 = 1 -1 = 0.
Segunda equação: 1 + 1^2\cdot 1 = 1 +1 = 2.
Logo (x_1,x_2)=(1,1) é uma solução exata do sistema.
Passo 4
Analisar a convergência local do mapa de iteração g=(g_1,g_2). Por que isso é importante? Porque o método de Jacobi per se é uma iteração de ponto fixo: se g for uma contração numa vizinhança da solução, as iterações convergem localmente para a solução; caso contrário, podem divergir ou oscilar.
porque \dfrac{2}{3}1^{-1/3}=\dfrac{2}{3} e -4\cdot1^{-3}+1^{-2}=-4+1=-3.
Agora achar os autovalores de J_g(1,1). A matriz tem traço zero e determinante
\det J_g(1,1)=0\cdot 0 - \frac{2}{3}\cdot(-3)=2.
Os autovalores satisfazem \lambda^2=\det J_g(1,1)=2, isto é
\lambda=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}4142.
A magnitude máxima dos autovalores (raio espectral) é \rho(J_g(1,1))=\sqrt{2}>1.
Conclusão teórica: o mapa g NÃO é uma contração local em torno de (1,1) (raio espectral maior que 1). Assim, a iteração de ponto fixo do tipo Jacobi com as escolhas g_1=x_2^{2/3}, g_2=(2-x_1)/x_1^2 NÃO tem garantia de convergência local; de fato, espera-se comportamento oscilatório ou divergente perto da solução.]
Passo 5
Mostrar isso numericamente com algumas iterações (exemplo prático). Vou escolher um chute inicial razoável e não nulo, por exemplo
Já se vê comportamento oscilatório/instável: os valores saltam e não se aproximam monotonicamente de (1,1). Dependendo do chute inicial, as iterações podem divergir ou oscilar; isto confirma a previsão feita pela análise linearizada (raio espectral >1).
Passo 6
Interpretação prática e solução do sistema.
O sistema tem a solução exata (x_1,x_2)=(1,1) (verificado diretamente).
O método de Jacobi, com a escolha natural de ponto fixo x_1=x_2^{2/3}, x_2=(2-x_1)/x_1^2, gera um mapa cuja Jacobiana em (1,1) tem autovalores de módulo >\!1; por isso essa iteração NÃO é localmente convergente em geral. Numérico confirma: iterações podem oscilar ou divergir.
Conclusão prática: embora a solução seja (1,1), aplicar o esquema Jacobi direto (com as g_i acima) não é uma boa estratégia para encontrar a solução numericamente, pois falta a condição de contração. Métodos alternativos mais robustos são:
usar Newton (método de Newton-Raphson para sistemas) — que costuma convergir rapidamente se o chute inicial estiver razoavelmente perto;
tentar reescrever o sistema em outra forma de ponto fixo cujo Jacobiano tenha norma menor que 1 na vizinhança da solução (nem sempre possível);