Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}a & 2 a+1 \\\ a-1 & a+1\end{array}\right]
, em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A^{-1} cuja primeira coluna é \left[\begin{array}{c}2 a-1 \\\\ -1\end{array}\right]
, a soma dos elementos da diagonal principal de \mathrm{A}^{-1} é igual a
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}a & 2a+1 \\[6pt] a-1 & a+1\end{pmatrix}
e diz que A^{-1} existe e tem primeira coluna igual a
\begin{pmatrix}2a-1\\\\ -1\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a soma dos elementos da diagonal principal de A^{-1}, ou seja, \mathrm{tr}(A^{-1}). Para isso, vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 e igualar a sua primeira coluna ao vetor dado.]
Passo 2
Calcular o determinante \Delta=\det(A). Para
A = \begin{pmatrix}a & 2a+1 \\[3pt] a-1 & a+1\end{pmatrix},
temos
\Delta = a\,(a+1) - (2a+1)\,(a-1).
Desenvolvendo,
\Delta = a^2 + a \;-\;\bigl(2a^2 -2a +a -1\bigr) = a^2 + a - 2a^2 + a +1 = -a^2 + 2a +1.]