Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cc}a & 2 a+1 \\\ a-1 & a+1\end{array}\right]
, em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A^{-1} cuja primeira coluna é
\left[\begin{array}{c}2 a-1 \\\\ -1\end{array}\right]
, a soma dos elementos da diagonal principal de
\mathrm{A}^{-1} é igual a

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}a & 2a+1 \\[6pt] a-1 & a+1\end{pmatrix}
e diz que A^{-1} existe e tem primeira coluna igual a
\begin{pmatrix}2a-1\\\\ -1\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a soma dos elementos da diagonal principal de A^{-1}, ou seja, \mathrm{tr}(A^{-1}). Para isso, vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 e igualar a sua primeira coluna ao vetor dado.]

Passo 2

Calcular o determinante \Delta=\det(A). Para
A = \begin{pmatrix}a & 2a+1 \\[3pt] a-1 & a+1\end{pmatrix},
temos
\Delta = a\,(a+1) - (2a+1)\,(a-1).
Desenvolvendo,
\Delta = a^2 + a \;-\;\bigl(2a^2 -2a +a -1\bigr) = a^2 + a - 2a^2 + a +1 = -a^2 + 2a +1.]

Passo 3

Pela fórmula da matriz inversa em 2\times2,
A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} a+1 & -(2a+1) \\[3pt] -(a-1) & a \end{pmatrix}.
Logo, a primeira coluna de A^{-1} é
\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}a+1\\\\ -(a-1)\end{pmatrix}.]

Passo 4

Igualamos essa primeira coluna ao vetor dado \bigl(2a-1,\,-1\bigr)^T. Assim obtemos o sistema
\frac{a+1}{\Delta} = 2a-1, \qquad \frac{-(a-1)}{\Delta} = -1.
Da segunda equação vem
\frac{a-1}{\Delta} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a-1 = \Delta.

Passo 5

Substituindo \Delta=-a^2+2a+1 em a-1=\Delta,
a - 1 = -a^2 + 2a + 1 \quad\Longrightarrow\quad -a^2 + 2a +1 - a +1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - a - 2 = 0.
As raízes são a=2 ou a=-1. Ambas tornam \Delta\neq0, mas precisamos checar a primeira equação.

Passo 6

Para a=2: \Delta = 2-1 =1 e
\frac{a+1}{\Delta} = \frac{3}{1}=3 = 2\cdot2 -1,
ok.
Para a=-1: \Delta = -2 e
\frac{a+1}{\Delta} = \frac{0}{-2}=0 \neq 2\cdot(-1)-1=-3,
logo a=-1 não serve. Assim a=2.

Passo 7

Com a=2 e \Delta=1, a inversa vale
A^{-1} = \begin{pmatrix}a+1 & -(2a+1) \\[3pt] -(a-1) & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -5 \\[3pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
A soma dos elementos da diagonal principal é
3 + 2 = 5.]

Resposta

5

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