Sendo a um número real, considere a matriz A = \left(\begin{array}{cc}1 & a \\\\ 0 & -1\end{array}\right)
. Então, \mathrm{A}^{2017} é igual a
a) \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)
b) \left(\begin{array}{cc}1 & a \\\\ 0 & -1\end{array}\right)
c) \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)
d) \left(\begin{array}{cc}1 & a^{2017} \\\\ 0 & -1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & a \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}
e pede A^{2017}. O conteúdo é potência de matriz triangular. A ideia é calcular primeiro A^2 e identificar um padrão para as potências de A.
Passo 2
Vamos multiplicar A por si mesma:
A^2 = \begin{pmatrix}1 & a \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & a \\\\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + a\cdot0 & 1\cdot a + a\cdot(-1) \\\\ 0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot a + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I.
Como A^2 = I, segue por indução ou repetição que
A^{2k} = I \quad\text{e}\quad A^{2k+1} = A \quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
Passo 3
O número 2017 é ímpar, ou seja, 2017 = 2k+1 para algum k. Logo
A^{2017} = A^{2k+1} = A = \begin{pmatrix}1 & a \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
Resposta
b) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & a \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}