(valor: 2,60 ) Sejam
e
Encontre as bases dos seguintes subespaços vetoriais e dê suas dimensões:
.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
por equações lineares:
Vamos encontrar uma parametrização de cada um, extrair uma base e dimensão, depois resolver o sistema conjunto para
e usar a fórmula
para achar
e uma base de
.
Passo 2
Para
, a equação é
. Escolhemos
como livres e escrevemos
Logo
Uma base de
é
portanto
.
Passo 3
Para
, a equação é
. Tomamos
livres e
Assim
Uma base de
é
logo
.
Passo 4
Para
Somando as duas equações vem
. Com
e
livres,
Uma base de
é
portanto
.
Passo 5
Usando
obtemos
Como
tem dimensão
, segue
. Para dar uma base podemos unir três vetores de
com um vetor de
fora de
, por exemplo
que são
vetores linearmente independentes em
.
Resposta
U: base
,
.
V: base ,
.
U V: base
,
.
: base
,
(portanto
).
V: base
U