(valor: 2,60 ) Sejam
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y-z+t=0\right\}
e
V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y+z+t=0\right\}
Encontre as bases dos seguintes subespaços vetoriais e dê suas dimensões: U, V, U \cap V, U+V.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^4 por equações lineares:
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y-z+t=0\}, \quad V=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y+z+t=0\}.
Vamos encontrar uma parametrização de cada um, extrair uma base e dimensão, depois resolver o sistema conjunto para U\cap V e usar a fórmula
\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V)
para achar \dim(U+V) e uma base de U+V.

Passo 2

Para U, a equação é x+y-z+t=0. Escolhemos y,z,t como livres e escrevemos
x=-y+z-t.
Logo
(x,y,z,t) =(-y+z-t,\;y,\;z,\;t) =y\,( -1,1,0,0)+z\,(1,0,1,0)+t\,(-1,0,0,1).
Uma base de U é
\{(-1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
portanto \dim(U)=3.

Passo 3

Para V, a equação é x-y+z+t=0. Tomamos y,z,t livres e
x=y-z-t.
Assim
(x,y,z,t) =(y-z-t,\;y,\;z,\;t) =y\,(1,1,0,0)+z\,(-1,0,1,0)+t\,(-1,0,0,1).
Uma base de V é
\{(1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
logo \dim(V)=3.

Passo 4

Para U\cap V\) resolvemos simultaneamente \[\begin{cases} x+y-z+t=0,\\\ x-y+z+t=0. \end{cases}
Somando as duas equações vem 2x+2t=0\implies x=-t\]. Subtraindo vem \(2y-2z=0\implies y=z. Com z e t livres,
(x,y,z,t)=(-t,z,z,t) =z\,(0,1,1,0)+t\,(-1,0,0,1).
Uma base de U\cap V é
\{(0,1,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
portanto \dim(U\cap V)=2.

Passo 5

Usando \dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V) obtemos
\dim(U+V)=3+3-2=4.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue U+V=\mathbb{R}^4. Para dar uma base podemos unir três vetores de U com um vetor de V fora de U, por exemplo
\{(-1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-1,0,0,1),\;(1,1,0,0)\},
que são 4 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4.

Resposta

U: base \{(-1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\}, \dim(U)=3.
V: base \{(1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\}, \dim(V)=3.
U \capV: base \{(0,1,1,0),\;(-1,0,0,1)\}, \dim(U\cap V)=2.
U+V: base \{(-1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-1,0,0,1),\;(1,1,0,0)\}, \dim(U+V)=4 (portanto U+V=\mathbb{R}^4).

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