Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 5 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]
  1. Determine o menor complementar M_{12};
  2. Determine o cofator C_{12};
  3. Determine o menor complementar M_{23};
  4. Determine o cofator C_{23}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 5 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]
e pede quatro coisas:
  • Determine o menor complementar M_{12}.
  • Determine o cofator C_{12}.
  • Determine o menor complementar M_{23}.
  • Determine o cofator C_{23}.

Passo 2

O que é um menor complementar M_{ij} (explicação didática, sem pular etapas):
  • Para uma matriz qualquer, o menor complementar M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j da matriz original.
  • No caso de uma matriz 3\times3, ao eliminar uma linha e uma coluna sobra uma matriz 2\times2.
  • Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
o determinante é calculado por
\det = a d - b c.
Aqui a,b,c,d são os quatro elementos da matriz 2\times2; é só multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto dos da diagonal secundária.

Passo 3

Calcular M_{12} (passo a passo mostrando a submatriz que usei):
  • Eliminar a linha 1 e a coluna 2 da matriz A. Ficam os elementos das linhas 2 e 3 e colunas 1 e 3:
\begin{pmatrix} 0 & 5 \\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
  • Aplicando a fórmula do determinante 2\times2:
M_{12} = 0\cdot 2 - 5\cdot 1 = 0 - 5 = -5.

Passo 4

O que é um cofator C_{ij} (explicação didática):
  • O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor complementar definido antes.
  • A razão do sinal (-1)^{i+j} é produzir o padrão de sinais em xadrez para expansão por cofactores numa matriz 3\times3:
\begin{pmatrix} + & - & +\\\\ - & + & -\\\\ + & - & + \end{pmatrix},
ou seja, (i+j) par dá sinal + e (i+j) ímpar dá sinal -.

Passo 5

Calcular C_{12} usando M_{12}:
  • Primeiro calcule o expoente: 1+2=3, então (-1)^{1+2}=(-1)^3=-1.
  • Aplicando a fórmula do cofator:
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=(-1)\cdot(-5)=5.

Passo 6

Calcular M_{23} (submatriz e determinante):
  • Eliminar a linha 2 e a coluna 3 de A. Ficam as linhas 1 e 3 e colunas 1 e 2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
  • Determinante 2\times2:
M_{23}=1\cdot(-1)-2\cdot 1=-1-2=-3.

Passo 7

Calcular C_{23} usando M_{23}:
  • Calcular o sinal: 2+3=5, então (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1.
  • Aplicando a fórmula do cofator:
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=(-1)\cdot(-3)=3.

Resposta

M_{12}=-5
C_{12}=5
M_{23}=-3
C_{23}=3

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