Utilize propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{ccc}1 & -7 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 1 & -9\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz A abaixo:
\det(A)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -7 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 1 & -9 \end{array}\right|
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma matriz 3\times3.
  • A segunda linha é composta por três zeros: a_{21}=0, a_{22}=0 e a_{23}=0.
  • A pergunta implícita é calcular o valor numérico do determinante.

Passo 2

Propriedade básica que vamos usar (expansão por cofatores):
Para qualquer matriz 3\times3 e qualquer índice de linha i vale
\det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3},
onde a_{ij} são os elementos da matriz e C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o cofator associado ao elemento a_{ij}, com M_{ij} sendo o menor (determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j).
Explicação didática: cada termo da expansão é o produto do elemento da linha escolhida pelo seu cofator; se o elemento for zero, aquele termo contribui com zero para a soma. Portanto, se todos os elementos de uma linha forem zeros, todos os termos da expansão por essa linha serão zeros e o determinante será zero.

Passo 3

Aplicando a propriedade à segunda linha ( i=2) da nossa matriz: os elementos são a_{21}=0, a_{22}=0 e a_{23}=0. Assim
\det(A)=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+a_{23}C_{23}=0\cdot C_{21}+0\cdot C_{22}+0\cdot C_{23}=0.

Passo 4

Comentário extra (intuitivo e prático): o determinante mede, entre outras interpretações, o “volume” gerado pelas linhas (ou colunas). Se uma linha é o vetor nulo, esse “volume” é zero; portanto o determinante é zero. Isso também é útil para provas rápidas na hora da prova — ao ver uma linha (ou coluna) totalmente nula, já se pode afirmar imediatamente que o determinante é 0.

Resposta

0

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