Utilize propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 3 & 8 \\\\ 0 & 0 & 5\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Ou seja, a pergunta é: qual é \left|A\right|, o determinante dessa matriz?]

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): note que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros, portanto a matriz A é uma matriz triangular superior. Há uma propriedade prática para esse caso que vamos usar ou justificar: o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Vou justificar isso de forma direta usando a expansão por co-fatores (que é uma forma elementar de entender por que a propriedade vale).

Passo 3

Expansão por co-fatores ao longo da primeira coluna (porque nela há dois zeros, o que simplifica muito). Pela regra da expansão:
\left|A\right| = a_{11}\,C_{11} + a_{21}\,C_{21} + a_{31}\,C_{31},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes o determinante do menor correspondente. Aqui a_{11}=1, a_{21}=0, a_{31}=0. Logo apenas o primeiro termo contribui:
\left|A\right| = 1\cdot (-1)^{1+1}\left|\begin{pmatrix}3 & 8\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}\right| = \left|\begin{pmatrix}3 & 8\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}\right|.]

Passo 4

Agora calculamos o determinante do 2\times2:
recordando que para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} vale \det = ad - bc. Aplicando:
\left|\begin{pmatrix}3 & 8\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}\right| = 3\cdot 5 - 8\cdot 0 = 15.
Portanto, pelo passo anterior, \left|A\right| = 15.]

Passo 5

Comentário didático extra (atalho útil na prova): como A é triangular superior, pode-se aplicar diretamente a propriedade
\left|A\right| = a_{11}\,a_{22}\,a_{33}.
Aqui isso dá 1\cdot 3\cdot 5, que também resulta em 15. Esse atalho é seguro e muito prático em prova.

Resposta

15

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