Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
a) Calcule o determinante da matriz A.
b) A matriz A é inversível? Se sim, calcule A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. Calcular o determinante de A.
  2. Dizer se A é inversível e, se for, calcular A^{-1}.
Informações relevantes que temos explicitamente: os 16 elementos de A (listados acima). Não há restrições extras. A solução envolverá operações elementares sobre linhas para calcular o determinante de forma prática e para encontrar a inversa por eliminação (Gauss–Jordan), aplicando as mesmas operações à matriz identidade.

Passo 2

Noções e propriedades úteis (explicadinha, passo a passo):
  • O determinante de uma matriz quadrada é um número associado a ela. Algumas operações sobre linhas alteram o determinante de forma previsível:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
    • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
    • Somar a um outra linha um múltiplo de uma linha não altera o determinante.
      Essas propriedades permitem calcular o determinante fazendo eliminação até obter uma matriz triangular superior e então multiplicar os elementos da diagonal.
  • Para encontrar a inversa A^{-1} (quando ela existe), um método direto é o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A \mid I], aplicar operações elementares de linha para transformar o lado esquerdo em I; o lado direito torna-se A^{-1}. As mesmas operações de linha válidas acima são usadas, e elas preservam a igualdade.
Vou usar eliminação por linhas (operações elementares) porque é método direto, sistemático e compatível com fazer determinante e inversa ao mesmo tempo.

Passo 3

Calculemos o determinante fazendo eliminação para triangular superior, registrando que só usarei operações que não alteram o determinante (somar múltiplos de linhas) — assim o determinante será o produto das diagonais no final.
Começamos com A:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
Operações:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 (subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 3)
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1
Aplicando:
  • R_3 = (2,0,1,1) - 2(1,2,0,-1) = (0,-4,1,3).
  • R_4 = (1,1,1,1) - (1,2,0,-1) = (0,-1,1,2).
Nova matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & -4 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Nenhuma troca de linhas nem multiplicação por escalar foi feita, logo o determinante ainda é \det(A) (ainda o mesmo).

Passo 4

Continuamos com o pivô da segunda coluna (posição (2,2), que é 1). Usamos R_2 para zerar as entradas abaixo na coluna 2:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_2
Cálculos:
  • R_3 = (0,-4,1,3) + 4(0,1,3,2) = (0,0,13,11).
  • R_4 = (0,-1,1,2) + (0,1,3,2) = (0,0,4,4).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 13 & 11 \\\\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}.
Ainda usamos apenas somas de múltiplos de linhas (que não alteram o determinante).

Passo 5

Usamos o pivô 13 em (3,3) para zerar a entrada (4,3)=4:
  • R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{4}{13}R_3.
Isso produz a entrada (4,4):
4 - \frac{4}{13}\cdot 11 = \frac{52}{13} - \frac{44}{13} = \frac{8}{13}.
Assim a matriz triangular superior final é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 13 & 11 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{8}{13} \end{pmatrix}.
Como não trocamos linhas nem multiplicamos uma linha por escalar (apenas somas de múltiplos), o determinante de A é o produto das entradas da diagonal desta triangular:
\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot 13 \cdot \frac{8}{13} = 8.
Portanto o determinante é 8. Isso também nos diz algo útil: \det(A)\neq 0, logo A é inversível.

Passo 6

Agora vamos calcular A^{-1} com Gauss–Jordan. A ideia: montar [A \mid I] e aplicar operações de linha para transformar o lado esquerdo em I; as mesmas operações transformam I em A^{-1}.
Começamos com a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Vou repetir as mesmas operações de eliminação de antes, aplicando-as também ao bloco direito.

Passo 7

Primeiras operações (mesmas do Passo 3):
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Cálculos no bloco direito:
  • Para R_3: direita (0,0,1,0) - 2(1,0,0,0) = (-2,0,1,0).
  • Para R_4: direita (0,0,0,1) - (1,0,0,0) = (-1,0,0,1).
Matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -4 & 1 & 3 & -2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 8

Operações (mesmas do Passo 4) para zerar coluna 2 abaixo do pivô R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_2.
Atualizando o bloco direito:
  • R_3 direito: (-2,0,1,0) + 4(0,1,0,0) = (-2,4,1,0).
  • R_4 direito: (-1,0,0,1) + (0,1,0,0) = (-1,1,0,1).
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 13 & 11 & -2 & 4 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 4 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 9

Agora pivot em (3,3) é 13. Para facilitar, vamos transformar este pivô em 1 dividindo a linha 3 por 13:
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{13}R_3.
Assim:
  • Linha 3 esquerda: (0,0,1,\tfrac{11}{13}).
  • Linha 3 direita: \left(-\tfrac{2}{13},\tfrac{4}{13},\tfrac{1}{13},0\right).
Aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{13} & -\tfrac{2}{13} & \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13} & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 4 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 10

Zeramos a entrada (4,3)=4 e a entrada (2,3)=3 usando R_3:
  • R_4 \leftarrow R_4 - 4R_3.
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3.
Calculando o bloco direito:
  • Para R_4: direita (-1,1,0,1) - 4\left(-\tfrac{2}{13},\tfrac{4}{13},\tfrac{1}{13},0\right) = \left(-1 + \frac{8}{13},\; 1 - \frac{16}{13},\; 0 - \frac{4}{13},\; 1\right) =\left(-\tfrac{5}{13},\; -\tfrac{3}{13},\; -\tfrac{4}{13},\; 1\right).E a entrada (4,4) esquerda ficou \tfrac{8}{13} (como já visto no cálculo do determinante).
  • Para R_2: direita (0,1,0,0) - 3\left(-\tfrac{2}{13},\tfrac{4}{13},\tfrac{1}{13},0\right) = \left(\tfrac{6}{13},\; \tfrac{1}{13},\; -\tfrac{3}{13},\; 0\right).
Aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{7}{13} & \tfrac{6}{13} & \tfrac{1}{13} & -\tfrac{3}{13} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{13} & -\tfrac{2}{13} & \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{8}{13} & -\tfrac{5}{13} & -\tfrac{3}{13} & -\tfrac{4}{13} & 1 \end{array}\right].

Passo 11

Agora pivot em (4,4) é \tfrac{8}{13}. Transformamos esse pivô em 1 multiplicando a linha 4 por \dfrac{13}{8}:
  • R_4 \leftarrow \dfrac{13}{8}R_4.
Isso dá a linha 4 direita:
\left(-\tfrac{5}{13}\cdot\tfrac{13}{8},\; -\tfrac{3}{13}\cdot\tfrac{13}{8},\; -\tfrac{4}{13}\cdot\tfrac{13}{8},\; 1\cdot\tfrac{13}{8}\right) = \left(-\tfrac{5}{8},\; -\tfrac{3}{8},\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{13}{8}\right).
E a entrada (4,4) esquerda torna-se 1. Aumentada agora (esquematicamente) tem R_4:
R_4 = \left(0,0,0,1 \;\middle|\; -\tfrac{5}{8},\; -\tfrac{3}{8},\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{13}{8}\right).

Passo 12

Eliminamos as entradas acima do pivô em (4,4) (as colunas 4 das linhas 1,2,3) usando R_4:
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{11}{13}R_4.
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{7}{13}R_4 (porque R_2 tinha -\tfrac{7}{13} em (2,4)).
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_4 (porque R_1 tinha -1 em (1,4)).
Fazendo as contas no bloco direito (fiz passo a passo):
  • Para R_3 direito: \left(-\tfrac{2}{13},\tfrac{4}{13},\tfrac{1}{13},0\right) - \tfrac{11}{13}\left(-\tfrac{5}{8},-\tfrac{3}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{13}{8}\right) = \left(\tfrac{3}{8},\tfrac{5}{8},\tfrac{1}{2},-\tfrac{11}{8}\right).
  • Para R_2 direito: \left(\tfrac{6}{13},\tfrac{1}{13},-\tfrac{3}{13},0\right) + \tfrac{7}{13}\left(-\tfrac{5}{8},-\tfrac{3}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{13}{8}\right) = \left(\tfrac{1}{8},-\tfrac{1}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{8}\right).
  • Para R_1 direito: (1,0,0,0) + \left(-\tfrac{5}{8},-\tfrac{3}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{13}{8}\right) = \left(\tfrac{3}{8},-\tfrac{3}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{13}{8}\right).
E as entradas da parte esquerda nas colunas 4 ficaram todas zero, exceto a já ajustada linha 4 que é 1.

Passo 13

Por fim, eliminamos o 2 que está em (1,2) (coluna 2, linha 1) usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Computando o bloco direito de R_1:
  • R_1 direito atual \left(\tfrac{3}{8},-\tfrac{3}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{13}{8}\right) - 2\left(\tfrac{1}{8},-\tfrac{1}{8},-\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{8}\right).
  • Isso dá \left(\tfrac{3}{8}-\tfrac{1}{4},\; -\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{4},\; -\tfrac{1}{2}+1,\; \tfrac{13}{8}-\tfrac{7}{4}\right) = \left(\tfrac{1}{8}, -\tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{8}\right).
Agora a parte esquerda da aumentada é exatamente a identidade I_4. Então o lado direito é A^{-1}.

Passo 14

Escrevendo o resultado final para A^{-1}: as linhas (direito) obtidas são, na ordem R_1,R_2,R_3,R_4,
R_1 = \left(\tfrac{1}{8},\; -\tfrac{1}{8},\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{8}\right),
R_2 = \left(\tfrac{1}{8},\; -\tfrac{1}{8},\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{7}{8}\right),
R_3 = \left(\tfrac{3}{8},\; \tfrac{5}{8},\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{11}{8}\right),
R_4 = \left(-\tfrac{5}{8},\; -\tfrac{3}{8},\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{13}{8}\right).
Portanto A^{-1} é a matriz cujas linhas são essas.

Resposta

\det(A)=8
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{8} \\ \tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{7}{8} \\ \tfrac{3}{8} & \tfrac{5}{8} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{11}{8} \\ -\tfrac{5}{8} & -\tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{13}{8} \end{pmatrix}

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