Dizer se A é inversível e, se for, calcular A^{-1}.
Informações relevantes que temos explicitamente: os 16 elementos de A (listados acima). Não há restrições extras. A solução envolverá operações elementares sobre linhas para calcular o determinante de forma prática e para encontrar a inversa por eliminação (Gauss–Jordan), aplicando as mesmas operações à matriz identidade.
Passo 2
Noções e propriedades úteis (explicadinha, passo a passo):
O determinante de uma matriz quadrada é um número associado a ela. Algumas operações sobre linhas alteram o determinante de forma previsível:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Somar a um outra linha um múltiplo de uma linha não altera o determinante.
Essas propriedades permitem calcular o determinante fazendo eliminação até obter uma matriz triangular superior e então multiplicar os elementos da diagonal.
Para encontrar a inversa A^{-1} (quando ela existe), um método direto é o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A \mid I], aplicar operações elementares de linha para transformar o lado esquerdo em I; o lado direito torna-se A^{-1}. As mesmas operações de linha válidas acima são usadas, e elas preservam a igualdade.
Vou usar eliminação por linhas (operações elementares) porque é método direto, sistemático e compatível com fazer determinante e inversa ao mesmo tempo.
Passo 3
Calculemos o determinante fazendo eliminação para triangular superior, registrando que só usarei operações que não alteram o determinante (somar múltiplos de linhas) — assim o determinante será o produto das diagonais no final.
Como não trocamos linhas nem multiplicamos uma linha por escalar (apenas somas de múltiplos), o determinante de A é o produto das entradas da diagonal desta triangular:
Portanto o determinante é 8. Isso também nos diz algo útil: \det(A)\neq 0, logo A é inversível.
Passo 6
Agora vamos calcular A^{-1} com Gauss–Jordan. A ideia: montar [A \mid I] e aplicar operações de linha para transformar o lado esquerdo em I; as mesmas operações transformam I em A^{-1}.