As linhas originais são, em ordem: \text{R}_1=(1,3,0,0,3), \text{R}_2=(0,0,1,0,0), \text{R}_3=(0,0,0,0,0) e \text{R}_4=(0,0,0,3,1).
O objetivo é obter uma forma escalonada (pivôs progressivos da esquerda para a direita), usando operações elementares de linha.
Passo 2
Breve explicação didática sobre operações elementares e pivôs (pega leve, é importante):\n
Operações elementares permitidas (que não mudam o espaço de linhas):
trocar duas linhas entre si (\text{R}_i \leftrightarrow \text{R}_j);\n
multiplicar uma linha por um escalar não nulo (\text{R}_i \leftarrow \lambda\text{R}_i, com \lambda\neq0);\n
somar a uma linha um múltiplo de outra (\text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + \mu\text{R}_j).\n
Pivô é o primeiro elemento não nulo numa linha, lido da esquerda para a direita; em uma forma escalonada, cada pivô aparece mais à direita que o pivô da linha anterior, e linhas nulas ficam abaixo das não nulas.
Passo 3
Começamos vendo a matriz inicial e verificando pivôs por coluna:
A primeira linha já tem um pivô em coluna 1 (elemento 1 em posição (1,1)). Não há necessidade de zerar abaixo, pois as entradas na coluna 1 já são zero nas linhas 2,3,4.
A segunda linha tem pivô em coluna 3 (elemento 1 em posição (2,3)).
A terceira linha é a linha nula, e a quarta linha tem um elemento não nulo em coluna 4 que pode servir como pivô. Para ter as linhas com pivôs acima das linhas nulas (requisito de forma escalonada), devemos trocar a linha nula (\text{R}_3) com a linha não nula (\text{R}_4).
Passo 4
Aplicamos a troca de linhas \text{R}_3 \leftrightarrow \text{R}_4:
Agora as linhas não nulas estão acima da linha nula, e os pivôs previstos (colunas 1,3,4) aparecem em linhas 1,2,3 respectivamente, em ordem crescente de colunas — boa forma escalonada parcial.
Passo 5
Normalizar o pivô da terceira linha: o pivô atual em \text{R}_3 é 3 na coluna 4. Para ter um pivô igual a 1 (forma escalonada reduzida fica mais clara), multiplicamos \text{R}_3 por \tfrac{1}{3}:
Verificação final dos pivôs e da forma escalonada:\n
\text{R}_1 tem pivô 1 na coluna 1.\n
\text{R}_2 tem pivô 1 na coluna 3.\n
\text{R}_3 tem pivô 1 na coluna 4.\n
\text{R}_4 é a linha nula.\n
Além disso, nas colunas de pivô (1, 3 e 4) todas as demais linhas já têm zeros, então a matriz está em forma escalonada e, na verdade, também em forma de linha reduzida em relação aos pivôs (não há necessidade de eliminar nada mais porque não há entradas não-nulas nas colunas de pivô fora dos próprios pivôs).