Faça o escalonamento das matrizes.
C=\left[\begin{array}{lllll}1 & 3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz C abaixo e pede para fazer o escalonamento (redução por linhas):
C=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right]
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 4\times 5.
  • As linhas originais são, em ordem: \text{R}_1=(1,3,0,0,3), \text{R}_2=(0,0,1,0,0), \text{R}_3=(0,0,0,0,0) e \text{R}_4=(0,0,0,3,1).
  • O objetivo é obter uma forma escalonada (pivôs progressivos da esquerda para a direita), usando operações elementares de linha.

Passo 2

Breve explicação didática sobre operações elementares e pivôs (pega leve, é importante):\n
Operações elementares permitidas (que não mudam o espaço de linhas):
  1. trocar duas linhas entre si ( \text{R}_i \leftrightarrow \text{R}_j);\n
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo ( \text{R}_i \leftarrow \lambda\text{R}_i, com \lambda\neq0);\n
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra ( \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + \mu\text{R}_j).\n
    Pivô é o primeiro elemento não nulo numa linha, lido da esquerda para a direita; em uma forma escalonada, cada pivô aparece mais à direita que o pivô da linha anterior, e linhas nulas ficam abaixo das não nulas.

Passo 3

Começamos vendo a matriz inicial e verificando pivôs por coluna:
\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right]
  • A primeira linha já tem um pivô em coluna 1 (elemento 1 em posição (1,1)). Não há necessidade de zerar abaixo, pois as entradas na coluna 1 já são zero nas linhas 2,3,4.
  • A segunda linha tem pivô em coluna 3 (elemento 1 em posição (2,3)).
  • A terceira linha é a linha nula, e a quarta linha tem um elemento não nulo em coluna 4 que pode servir como pivô. Para ter as linhas com pivôs acima das linhas nulas (requisito de forma escalonada), devemos trocar a linha nula ( \text{R}_3) com a linha não nula ( \text{R}_4).

Passo 4

Aplicamos a troca de linhas \text{R}_3 \leftrightarrow \text{R}_4:
\text{R}_3 \leftrightarrow \text{R}_4
Resultado:
\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora as linhas não nulas estão acima da linha nula, e os pivôs previstos (colunas 1,3,4) aparecem em linhas 1,2,3 respectivamente, em ordem crescente de colunas — boa forma escalonada parcial.

Passo 5

Normalizar o pivô da terceira linha: o pivô atual em \text{R}_3 é 3 na coluna 4. Para ter um pivô igual a 1 (forma escalonada reduzida fica mais clara), multiplicamos \text{R}_3 por \tfrac{1}{3}:
\text{R}_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}\text{R}_3
Resultado:
\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 6

Verificação final dos pivôs e da forma escalonada:\n
  • \text{R}_1 tem pivô 1 na coluna 1.\n
  • \text{R}_2 tem pivô 1 na coluna 3.\n
  • \text{R}_3 tem pivô 1 na coluna 4.\n
  • \text{R}_4 é a linha nula.\n
    Além disso, nas colunas de pivô (1, 3 e 4) todas as demais linhas já têm zeros, então a matriz está em forma escalonada e, na verdade, também em forma de linha reduzida em relação aos pivôs (não há necessidade de eliminar nada mais porque não há entradas não-nulas nas colunas de pivô fora dos próprios pivôs).

Resposta

\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

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