Dada a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\operatorname{sen} \theta & 0 \\\ \operatorname{sen} \theta & \cos \theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], calcule M M^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\operatorname{sen}\theta & 0\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos \theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular M M^{t}.\n
As informações relevantes são:
\begin{aligned} &\text{1)}\\ \text{Os elementos de }M\text{ são }M_{11}=\cos\theta,\\ M_{12}=-\operatorname{sen}\theta,\\ M_{13}=0,\\\ &\qquad\qquad M_{21}=\operatorname{sen}\theta,\\ M_{22}=\cos\theta,\\ M_{23}=0,\\\ &\qquad\qquad M_{31}=0,\\ M_{32}=0,\\ M_{33}=1.\\\ &\text{2) A tarefa: calcular a matriz }MM^{t}\text{ explicitando cada elemento.} \end{aligned}ã]

Passo 2

Definição e cálculo da transposta: a transposta M^{t} é obtida trocando linhas por colunas. Assim,
M^{t}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \operatorname{sen}\theta & 0\\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos \theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação curta: a entrada (M^{t})_{ij} é igual a M_{ji}. Por exemplo, (M^{t})_{12}=M_{21}=\operatorname{sen}\theta.]

Passo 3

Regra de multiplicação para matrizes 3\times3: o elemento (MM^{t})_{ij} vale
(MM^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} M_{ik}\,(M^{t})_{kj}.
Como (M^{t})_{kj}=M_{jk}, podemos escrever
(MM^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} M_{ik}\,M_{jk}.
Isto significa que cada elemento de MM^{t} é o produto escalar entre a linha i de M e a linha j de M.

Passo 4

Cálculo do elemento (MM^{t})_{11}:
(MM^{t})_{11}=M_{11}M_{11}+M_{12}M_{12}+M_{13}M_{13}.
Substituindo os valores:
(MM^{t})_{11}=(\cos\theta)(\cos\theta)+(-\operatorname{sen}\theta)(-\operatorname{sen}\theta)+0\cdot0.
Logo,
(MM^{t})_{11}=\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1, obtemos
(MM^{t})_{11}=1.

Passo 5

Cálculo do elemento (MM^{t})_{12}:
(MM^{t})_{12}=M_{11}M_{21}+M_{12}M_{22}+M_{13}M_{23}.
Substituindo:
(MM^{t})_{12}=(\cos\theta)(\operatorname{sen}\theta)+(-\operatorname{sen}\theta)(\cos\theta)+0\cdot0.
Simplificando:
(MM^{t})_{12}=\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta-\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta=0.
Observação didática: vemos aqui que somas de termos iguais com sinais opostos se cancelam.

Passo 6

Cálculo dos elementos da primeira linha restantes:
(MM^{t})_{13}=M_{11}M_{31}+M_{12}M_{32}+M_{13}M_{33}.
Substituindo:
(MM^{t})_{13}=(\cos\theta)\cdot 0+(-\operatorname{sen}\theta)\cdot 0+0\cdot 1=0.

Passo 7

Cálculo da segunda linha: primeiro (MM^{t})_{21}. Pela simetria explícita da fórmula,
(MM^{t})_{21}=M_{21}M_{11}+M_{22}M_{12}+M_{23}M_{13}.
Substituindo:
(MM^{t})_{21}=(\operatorname{sen}\theta)(\cos\theta)+(\cos\theta)(-\operatorname{sen}\theta)+0\cdot0=0.
Isto confirma que (MM^{t})_{21}=(MM^{t})_{12}=0.

Passo 8

Cálculo de (MM^{t})_{22}:
(MM^{t})_{22}=M_{21}M_{21}+M_{22}M_{22}+M_{23}M_{23}.
Substituindo:
(MM^{t})_{22}=(\operatorname{sen}\theta)^{2}+(\cos\theta)^{2}+0^{2}=\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.

Passo 9

Cálculo de (MM^{t})_{23} e dos elementos da terceira linha/coluna:
(MM^{t})_{23}=M_{21}M_{31}+M_{22}M_{32}+M_{23}M_{33}=(\operatorname{sen}\theta)\cdot 0+(\cos\theta)\cdot 0+0\cdot1=0.
Para a terceira linha,
(MM^{t})_{31}=M_{31}M_{11}+M_{32}M_{12}+M_{33}M_{13}=0,
(MM^{t})_{32}=M_{31}M_{21}+M_{32}M_{22}+M_{33}M_{23}=0,
(MM^{t})_{33}=M_{31}M_{31}+M_{32}M_{32}+M_{33}M_{33}=0+0+1=1.

Passo 10

Conclusão: juntando todos os elementos calculados, obtemos
MM^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Breve interpretação didática: a matriz M é uma rotação no plano xy (com a terceira coordenada fixa), suas linhas (e colunas) são vetores ortonormais, por isso MM^{t}=I_{3}. Isso significa que M é uma matriz ortogonal, i.e., inversa igual à transposta.]

Resposta

MM^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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