a) Calcule o polinômio característico de A;
b) Determine os autovalores de A;
c) Encontre uma matriz ortogonal P \in M_{3 \times 3} e uma matriz diagonal D \in M_{3 \times 3} tais que A=P D P^{T};
d) Calcule A^{2025}.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado):
O enunciado pede:
(a) calcular o polinômio característico de A;
(b) determinar os autovalores de A;
(c) encontrar uma matriz ortogonal P\in M_{3\times3} e uma matriz diagonal D\in M_{3\times3} tais que A=P D P^{T};
(d) calcular A^{2025}.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Para calcular o determinante, faço operações de linha que não alteram o determinante exceto por multiplicações por escalares simples: subtraio a primeira linha da segunda e da terceira (operações do tipo R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1), o que preserva o determinante:
mas é mais direto observar que o determinante final resulta em 3-\lambda (ver passo conceitual abaixo). Portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}(3-\lambda).
Em forma expandida:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}.
Observação didática rápida: a extração de fatores e as operações de linha visam simplificar o determinante; o resultado mostra que \lambda=0 é raiz de multiplicidade 2 e \lambda=3 é raiz simples.]
Passo 3
Determinar os autovalores a partir do polinômio característico.
Como \det(A-\lambda I)=\lambda^{2}(3-\lambda), as raízes são:
Explicação didática: os autovalores são os \lambda que tornam A-\lambda I singular (determinante zero). Aqui aparece \lambda=0 duas vezes porque o posto de A é 1 (matriz de todas as entradas iguais tem posto 1).
Passo 4
Encontrar autovetores (espaços próprios) e construir uma base ortonormal de autovetores.
Soma das equações leva a 0, e é fácil ver que todos os componentes iguais satisfazem: x=(1,1,1)^{T} é um autovetor associado a \lambda=3.
Normalizando, defino
Para \lambda=0 resolvo A x=0, ou seja x_{1}+x_{2}+x_{3}=0. O espaço próprio é o subespaço \{x:\;x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\}, de dimensão 2. Posso escolher duas vetores independentes e ortogonais entre si e a u_{1}. Por exemplo:
Por construção as colunas são ortonormais, portanto P^{T}P=I, o que significa que P é ortogonal (P^{-1}=P^{T}).
A matriz diagonal D tem os autovalores nas posições correspondentes às colunas de P. Como associamos u_{1} a \lambda=3 e u_{2},u_{3} a \lambda=0, temos
Observação alternativa curta (intuição): escrevendo J para a matriz de todas as entradas 1, tem-se J^{2}=3J (cada entrada é soma de três uns), daí J^{k}=3^{k-1}J para k\ge1; como A=J, obtem-se o mesmo resultado A^{2025}=3^{2024}A.]
Resposta
(a) \det(A-\lambda I)=\lambda^{2}(3-\lambda)=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}.
(b) Os autovalores são \lambda=3 e \lambda=0 (com multiplicidade 2).
(c) Uma escolha é