(4,0) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T\left(\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3} \\\ x_{2}+x_{3}+x_{4} \end{array}\right]
a) Calcule [T] (matriz canônica de T );
b) Encontre \operatorname{dim} \operatorname{Nuc}(T) e \operatorname{dim} \operatorname{Im}(T);
c) Determine se T é injetiva e se T é sobrejetiva;
d) Sendo W=\operatorname{Nuc}(T), calcule uma base para o complemento ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T\left(\begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}\\[4pt] x_{2}+x_{3}+x_{4} \end{bmatrix}.
As perguntas são:
a) calcular a matriz canônica [T] de T (na base canônica de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^2);
b) encontrar \dim\operatorname{Nuc}(T) e \dim\operatorname{Im}(T);
c) determinar se T é injetiva e se é sobrejetiva;
d) tomando W=\operatorname{Nuc}(T), calcular uma base para o complemento ortogonal W^{\perp}.]

Passo 2

Matriz canônica: aplicar T aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^4,
e_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\\ e_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\\ e_{3}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\\ e_{4}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}.
Calculando:
T(e_{1})=\begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix},\quad T(e_{2})=\begin{bmatrix}1\\\ 1\end{bmatrix},\quad T(e_{3})=\begin{bmatrix}1\\\ 1\end{bmatrix},\quad T(e_{4})=\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix}.
A matriz [T] (colunas são as imagens das e_i) é
[T]=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição útil: \operatorname{Nuc}(T)=\{x\in\mathbb{R}^{4}:T(x)=0\}\). Para encontrar o núcleo, resolvemos \(T(x)=0\), isto é o sistema \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{2}+x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos x_{1}=-x_{2}-x_{3}\]. Da segunda obtemos \(x_{4}=-x_{2}-x_{3}. Tome s=x_{2} e t=x_{3} como parâmetros livres. Então
\begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-s-t\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] -s-t\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{bmatrix}.
Logo \operatorname{Nuc}(T)=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\} com
v_{1}=\begin{bmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ -1\end{bmatrix},\quad v_{2}=\begin{bmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}.]

Passo 4

Verificação de independência: os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (se a v_{1}+b v_{2}=0 então comparando coordenadas obtém-se a=b=0), portanto \dim\operatorname{Nuc}(T)=2.

Passo 5

Teorema posto-nulidade: para transformação linear de \mathbb{R}^{4} vale
\dim\operatorname{Nuc}(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=4.
Como \dim\operatorname{Nuc}(T)=2, segue \dim\operatorname{Im}(T)=2.
Complemento direto: podemos também ver pelas colunas de [T] que existem duas colunas independentes (por exemplo \begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix} e \begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix} aparecem entre as colunas), então o posto é 2.

Passo 6

Injetividade: definição — T é injetiva iff \operatorname{Nuc}(T)=\{0\}. Aqui \dim\operatorname{Nuc}(T)=2>0, logo T NÃO é injetiva.
Sobrejetividade: T é sobrejetiva se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}. Como \dim\operatorname{Im}(T)=2 e o contradomínio tem dimensão 2, temos \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}. Portanto T É sobrejetiva.

Passo 7

Queremos W^{\perp} com W=\operatorname{Nuc}(T). Por definição
W^{\perp}=\{y\in\mathbb{R}^{4}:\langle y,w\rangle=0\\ \text{para todo }w\in W\}.
Uma estratégia prática: tomar os vetores que geram W (aqui v_{1},v_{2}) e impor y\cdot v_{1}=0 e y\cdot v_{2}=0. Outra observação útil (teoria dos subespaços fundamentais): W^{\perp} coincide com o espaço gerado pelas linhas de [T] (row space). As linhas de [T] são
r_{1}=\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix},\qquad r_{2}=\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix}.
Verificação rápida: r_{1}\cdot v_{1}=0, r_{1}\cdot v_{2}=0, r_{2}\cdot v_{1}=0, r_{2}\cdot v_{2}=0, logo r_{1},r_{2}\in W^{\perp}. Como são independentes e \dim W^{\perp}=4-\dim W=2, eles formam uma base de W^{\perp}.
Portanto uma base conveniente para W^{\perp} é
\left\{ \begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix} \right\}.
(Observação: qualquer outra base do mesmo subespaço, por exemplo \{[1,1,1,0]^{T},[-1,0,0,1]^{T}\}, também está correta — são combinações lineares entre si.)

Resposta

a) \displaystyle [T]=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
b) \displaystyle \dim\operatorname{Nuc}(T)=2,\qquad \dim\operatorname{Im}(T)=2.
c) T não é injetiva; T é sobrejetiva.
d) Uma base para W^{\perp} (com W=\operatorname{Nuc}(T)) é
\left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\\ \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}\right\}.]

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