(2,0) Suponha que B=\left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\} e B^{\prime}=\left\{b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}\right\} sejam bases de \mathbb{R}^{3} onde
\begin{aligned} & b_{1}=b_{1}^{\prime}-b_{2}^{\prime}+2 b_{3}^{\prime} \\\ & b_{2}=b_{1}^{\prime}+b_{2}^{\prime}-2 b_{3}^{\prime} \\\ & b_{3}=b_{1}^{\prime}+2 b_{2}^{\prime}+b_{3}^{\prime} \end{aligned}
a) Determine a matriz mudança de bases P_{B \rightarrow B^{\prime}};
b) Calcule \operatorname{det}\left(P_{B^{\prime} \rightarrow B}\right).

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, bem claro para não nos perdermos.
  • O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3: B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} e B'=\{b_{1}',b_{2}',b_{3}'\}.
  • As relações entre os vetores das bases estão fornecidas (peguei essas igualdades do enunciado):
\begin{aligned} b_{1}&=b_{1}'-b_{2}'+2b_{3}',\\[4pt] b_{2}&=b_{1}'+b_{2}'-2b_{3}',\\[4pt] b_{3}&=b_{1}'+2b_{2}'+b_{3}'. \end{aligned}
O enunciado pede:
  • (a) Determinar a matriz de mudança de base P_{B\rightarrow B'}.
  • (b) Calcular \det\!\left(P_{B'\rightarrow B}\right).]

Passo 2

O que é P_{B\rightarrow B'} e como construímos ela (aula rápida, sem pânico).
  • A matriz P_{B\rightarrow B'} transforma coordenadas de um vetor escritas na base B para coordenadas do mesmo vetor na base B'.
  • Uma maneira prática de construir P_{B\rightarrow B'} é colocar, como colunas, as coordenadas de cada vetor de B expressas na base B'.
  • Ou seja, a j-ésima coluna de P_{B\rightarrow B'} é o vetor coluna [b_j]_{B'} (as coordenadas de b_j em relação a B').
Como já temos explicitamente b_j em função dos b'_i, essas expressões nos dão diretamente as colunas de P_{B\rightarrow B'}.

Passo 3

Extrair as coordenadas de cada b_j em relação à base B' (peguei essas coordenadas das igualdades do enunciado).
  • De b_{1}=b_{1}'-b_{2}'+2b_{3}', as coordenadas de b_1 em B' são
[b_{1}]_{B'}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
  • De b_{2}=b_{1}'+b_{2}'-2b_{3}', as coordenadas de b_2 em B' são
[b_{2}]_{B'}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
  • De b_{3}=b_{1}'+2b_{2}'+b_{3}', as coordenadas de b_3 em B' são
[b_{3}]_{B'}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Montar a matriz P_{B\rightarrow B'} colocando essas colunas na ordem b_1,b_2,b_3.
P_{B\rightarrow B'}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Vou explicar por que essa é a matriz: se um vetor v tem coordenadas [v]_B=(x,y,z)^\top, então v=x b_1+y b_2+z b_3. Escrevendo cada b_j em B' e agrupando, as coordenadas de v em B' são P_{B\rightarrow B'}[v]_B. Isso é exatamente a construção que fizemos acima.

Passo 5

Calcular \det\!\big(P_{B\rightarrow B'}\big) passo a passo (detalhando o cálculo do determinante).
Seja
A = P_{B\rightarrow B'}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou expansão por primeira linha, calculamos
\begin{aligned} \det(A) &=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot(-2)=1+4=5,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot2=-1-4=-5,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-2)-1\cdot2=2-2=0.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot5 - 1\cdot(-5) + 1\cdot0 = 5 + 5 + 0 = 10.
Portanto \det\!\big(P_{B\rightarrow B'}\big)=10.]

Passo 6

Calcular \det\!\left(P_{B'\rightarrow B}\right).
  • Observação de teoria útil e muito usada em prova: P_{B'\rightarrow B} é a inversa de P_{B\rightarrow B'}, isto é
P_{B'\rightarrow B}=\big(P_{B\rightarrow B'}\big)^{-1},
pois aplicar P_{B\rightarrow B'} vai de coordenadas em B para B' e a inversa volta de B' para B.
  • Uma propriedade básica de determinantes: para qualquer matriz invertível M,
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det(M)}.
Aplicando essa propriedade com M=P_{B\rightarrow B'}, obtemos
\det\!\left(P_{B'\rightarrow B}\right)=\det\!\big(P_{B\rightarrow B'}^{-1}\big)=\frac{1}{\det\!\big(P_{B\rightarrow B'}\big)}=\frac{1}{10}.

Resposta

P_{B\rightarrow B'}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}
\det\!\left(P_{B'\rightarrow B}\right)=\tfrac{1}{10}

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