Considere a matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]. Usando escalonamento encontre a matriz inversa A^{-1}.
(5 pts)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{array}\right]
e pede para encontrar a matriz inversa A^{-1} usando escalonamento.
Informações relevantes listadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • A tarefa é aplicar operações elementares (escalonamento) para obter A^{-1}.
  • Não há nenhuma informação adicional (por exemplo, determinante dado), então usará-se o procedimento padrão de ampliar A com a identidade e reduzir até obter a identidade à esquerda.]

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): construir a matriz aumentada \left[A\,|\,I\right], onde
I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{array}\right].
Aplicam-se operações elementares sobre linhas para transformar o bloco esquerdo em I. As mesmas operações, aplicadas ao bloco direito, resultarão em A^{-1}. Lembre-se das operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra.]

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada inicial \left[A\,|\,I\right]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminar abaixo do pivô da coluna 1. Fazer R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
R_2: \\ [1\\\ 1\\\ 2\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ 0] - [1\\\ 2\\\ 3\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0] = [0\\\ -1\\\ -1\\ |\\\ -1\\\ 1\\\ 0].
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1. Multiplicar R_2 por -1: R_2\leftarrow -R_2.
R_2 = [0\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 1\\\ -1\\\ 0].
Aumentada agora
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminar abaixo do pivô da coluna 2. Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3: [0\\\ 1\\\ 2\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 1] - [0\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 1\\\ -1\\\ 0] = [0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ -1\\\ 1\\\ 1].
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora a coluna 3 já tem pivô 1 em R_3. Usar esse pivô para eliminar os elementos acima na coluna 3.
Primeiro R_2 \leftarrow R_2 - R_3:
\text{lado esquerdo: }[0\\\ 1\\\ 1]-[0\\\ 0\\\ 1]=[0\\\ 1\\\ 0],
\text{lado direito: }[1\\\ -1\\\ 0]-[-1\\\ 1\\\ 1]=[2\\\ -2\\\ -1].
Logo R_2=[0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 2\\\ -2\\\ -1].
Depois R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3:
\text{lado esquerdo: }[1\\\ 2\\\ 3]-3[0\\\ 0\\\ 1]=[1\\\ 2\\\ 0],
\text{lado direito: }[1\\\ 0\\\ 0]-3[-1\\\ 1\\\ 1]=[1+3,\\\ 0-3,\\\ 0-3]=[4\\\ -3\\\ -3].
Então R_1=[1\\\ 2\\\ 0\\ |\\\ 4\\\ -3\\\ -3].
Aumentada agora
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 4 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Finalizar eliminando o elemento acima do pivô da coluna 2: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2:
\text{lado esquerdo: }[1\\\ 2\\\ 0]-2[0\\\ 1\\\ 0]=[1\\\ 0\\\ 0],
\text{lado direito: }[4\\\ -3\\\ -3]-2[2\\\ -2\\\ -1]=[4-4,\\\ -3+4,\\\ -3+2]=[0\\\ 1\\\ -1].
Portanto R_1=[1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ -1].
Agora a matriz aumentada está na forma
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
O bloco esquerdo é a identidade, então o bloco direito é A^{-1}.]

Passo 9

Escrever A^{-1} explicitamente tomando as linhas do bloco direito:
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Pode-se conferir multiplicando A por A^{-1} e verificando que o produto é I (teste rápido: A\cdot A^{-1}=I, checado coluna a coluna).]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

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