Em cada caso, calcule \alpha \sigma \alpha^{-1}.
\alpha=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3\end{array}\right) e \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 6\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \alpha\sigma\alpha^{-1} onde foram dadas as permutações:
\alpha=(1\\\ 2\\\ 3) \qquad\text{e}\qquad \sigma=(1\\\ 2\\\ 3\\\ 6).
Informações explícitas que temos:
  • \alpha envia 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1 e fixa todos os outros elementos (por exemplo, 6\mapsto6).
  • \sigma envia 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto6, 6\mapsto1 e fixa os demais.
O objetivo é calcular a permutação resultante da conjugação \alpha\sigma\alpha^{-1}.

Passo 2

Explicação didática do conceito que vamos usar (sem pular etapas).
  • Conjugação de permutações: para quaisquer permutações \alpha e \sigma, a conjugação \alpha\sigma\alpha^{-1} corresponde a “renomear” os elementos da ação de \sigma aplicando \alpha. Em termos de ciclos existe uma fórmula simples e muito útil:
\alpha\bigl(x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_k\bigr)\alpha^{-1} = \bigl(\alpha(x_1)\\ \alpha(x_2)\\ \dots\\ \alpha(x_k)\bigr).
  • Por que essa fórmula é verdadeira? Rápida justificativa: seja \tau=(x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_k). Para y=\alpha(x_i) temos
\bigl(\alpha\tau\alpha^{-1}\bigr)(y) =\alpha\bigl(\tau(\alpha^{-1}(y))\bigr) =\alpha\bigl(\tau(x_i)\bigr) =\alpha(x_{i+1}),
portanto \alpha\tau\alpha^{-1} envia \alpha(x_i)\mapsto\alpha(x_{i+1}), o que é exatamente o ciclo (\alpha(x_1)\\ \alpha(x_2)\\ \dots). Em palavras: conjugar pela \alpha apenas aplica \alpha a cada elemento listado no ciclo de \sigma.

Passo 3

Aplicar a regra ao caso concreto. Primeiro calculo os valores \alpha nos elementos que aparecem em \sigma:
\alpha(1)=2,\qquad \alpha(2)=3,\qquad \alpha(3)=1,\qquad \alpha(6)=6.
(Anotei \alpha(6)=6 porque \alpha fixa elementos que não estão no ciclo (1\\\ 2\\\ 3).)

Passo 4

Agora uso a fórmula da conjugação aplicada ao ciclo \sigma=(1\\\ 2\\\ 3\\\ 6):
\alpha\sigma\alpha^{-1} = \bigl(\alpha(1)\\ \alpha(2)\\ \alpha(3)\\ \alpha(6)\bigr) = (2\\\ 3\\\ 1\\\ 6).

Passo 5

Podemos escrever o mesmo ciclo começando por outro elemento (isso não muda a permutação), por exemplo começando em 1:
(2\\\ 3\\\ 1\\\ 6)=(1\\\ 6\\\ 2\\\ 3).
Verificação rápida (controle): sob \alpha\sigma\alpha^{-1} tem-se 1\mapsto6, 6\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1, que coincide com o ciclo acima.

Resposta

(1\\\ 6\\\ 2\\\ 3)

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