Considere a matriz A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 9 & 7 \\\\ 1 & 2 & 14 & 11 \\\\ 4 & 4 & 36 & 28\end{array}\right].
a) Determine se o vetor ( -4,-5,1,0 ) pertence ao espaço \operatorname{Nul}(A).
b) Diga se a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(\vec{x})=A \vec{x} é injetora, justifique a sua resposta com poucas palavras.
c) Encontre uma base para o espaço \operatorname{Col}(A).
Para testar se \vec{v}=(-4,-5,1,0) está em \operatorname{Nul}(A), calculamos A\vec{v} multiplicando linha a linha (vou mostrar cada produto escalar das linhas por \vec{v}).
Como todas as três componentes de A\vec{v} são zero, obtemos
A\vec{v}=\vec{0}.
Portanto \vec{v}\in\operatorname{Nul}(A).
Passo 3
Vou agora explicar como encontrar a solução geral de [A\vec{x}=\vec{0}) (isso ajuda a entender por que o vetor dado está na nulidade). Fazemos eliminação por linhas em A.
Isto mostra explicitamente que \begin{pmatrix}-4\\\ -5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} é um vetor da base de \operatorname{Nul}(A) associado a s=1,t=0, confirmando o cálculo do Passo 2. Também vemos que \dim\operatorname{Nul}(A)=2.]
Passo 4
Agora a questão da injetividade de T. Lembrete útil e simples para a prova: uma transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x} é injetora se, e somente se, \operatorname{Nul}(A)=\{\vec{0}\} (ou seja, a única solução de A\vec{x}=\vec{0} é o vetor zero). No nosso caso, do Passo 3 vimos que \operatorname{Nul}(A) tem dimensão 2 e contém vetores não nulos (por exemplo (-4,-5,1,0)). Logo
T \text{ não é injetora.}ãé
Outra observação rápida: a matriz A tem posto \operatorname{rank}(A)=2 (duas linhas não nulas independentes), e 2<4 (número de colunas), por isso não é injetora.
Passo 5
Para achar uma base de \operatorname{Col}(A) (espaço coluna), usamos o fato prático: as colunas-pivô da matriz original A formam uma base para \operatorname{Col}(A). Na eliminação do Passo 3 os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2. Portanto as colunas 1 e 2 de A são linearmente independentes e geram toda a coluna espaço.
Isso confirma que \text{col}_1 e \text{col}_2 geram todas as colunas de A. Assim uma base para \operatorname{Col}(A) é formada por essas duas colunas.]
Resposta
(a) Sim: \;(-4,-5,1,0)\in\operatorname{Nul}(A).
(b) T não é injetora.
(c) Uma base de \operatorname{Col}(A) é \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}\right\}.