Dada uma matriz quadrada
invertível.
(a) Apresente o conjunto
. Qual a dimensão do
?
(b) Sabendo que alguns autores chamam de posto a dimensão do espaço coluna. Qual o posto da matriz A?
(a) Apresente o conjunto
(b) Sabendo que alguns autores chamam de posto a dimensão do espaço coluna. Qual o posto da matriz A?
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
que é invertível. Perguntas:
(a) Apresentar o conjunto (o núcleo / nullspace de
) e dizer qual é a dimensão de
.
(b) Sabendo que alguns autores definem “posto” como a dimensão do espaço coluna, determinar o posto (rank) de .
(a) Apresentar o conjunto
(b) Sabendo que alguns autores definem “posto” como a dimensão do espaço coluna, determinar o posto (rank) de
Passo 2
Definição e ideia básica sobre
: por definição,
Isto é,
é o conjunto de todos os vetores que são levados ao vetor nulo pelo operador linear representado por
. A dimensão de
chama-se nullidade (nullity).
Passo 3
Propriedade importante de matrizes invertíveis: se
é invertível, existe
tal que
onde
é a matriz identidade
. Vamos usar isso para estudar a equação
.
Passo 4
Se
satisfaz
, multiplicamos ambos os lados à esquerda por
. Como
, obtemos
Portanto, a única solução da equação
é o vetor nulo
.
Passo 5
Conclusão sobre o conjunto
: como a única solução da equação
é
, temos
Sobre a dimensão: o espaço que contém apenas o vetor nulo tem dimensão
. Uma forma de ver isso é que não existe nenhum vetor não-nulo que possa fazer parte de uma base; a base do espaço
é o conjunto vazio e, portanto, a dimensão (nullidade) é
.
Passo 6
Definição de posto (rank) e aplicação: o posto de
, neste enunciado, é a dimensão do espaço das colunas de
, isto é,
Usamos o Teorema da Dimensão (rank–nullity) que diz para uma matriz
Já achamos
. Logo
Passo 7
Interpretação alternativa (útil na prova): como
só tem solução trivial, as colunas de
são linearmente independentes. Há
colunas num espaço de dimensão
, então essas
colunas formam uma base de
e, portanto, o espaço coluna é todo
e sua dimensão é
. Isso confirma
.
Resposta
(a)
,
.\n
(b) .
(b)