Dada uma matriz quadrada \mathrm{A} n \times n invertível.
(a) Apresente o conjunto \operatorname{Nul}(A). Qual a dimensão do \operatorname{Nul}(A) ?
(b) Sabendo que alguns autores chamam de posto a dimensão do espaço coluna. Qual o posto da matriz A?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n que é invertível. Perguntas:
(a) Apresentar o conjunto \operatorname{Nul}(A) (o núcleo / nullspace de A) e dizer qual é a dimensão de \operatorname{Nul}(A).
(b) Sabendo que alguns autores definem “posto” como a dimensão do espaço coluna, determinar o posto (rank) de A.

Passo 2

Definição e ideia básica sobre \operatorname{Nul}(A): por definição,
\operatorname{Nul}(A)=\{\,x\in\mathbb{R}^n \mid A x = 0\,\}.
Isto é, \operatorname{Nul}(A) é o conjunto de todos os vetores que são levados ao vetor nulo pelo operador linear representado por A. A dimensão de \operatorname{Nul}(A) chama-se nullidade (nullity).

Passo 3

Propriedade importante de matrizes invertíveis: se A é invertível, existe A^{-1} tal que
A^{-1}A = I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. Vamos usar isso para estudar a equação Ax=0.

Passo 4

Se x satisfaz A x = 0, multiplicamos ambos os lados à esquerda por A^{-1}. Como A^{-1}A=I_n, obtemos
A^{-1}(A x)=A^{-1}0 \quad\Rightarrow\quad (A^{-1}A)x=0 \quad\Rightarrow\quad I_n x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto, a única solução da equação Ax=0 é o vetor nulo x=0.

Passo 5

Conclusão sobre o conjunto \operatorname{Nul}(A): como a única solução da equação Ax=0 é x=0, temos
\operatorname{Nul}(A)=\{0\}.
Sobre a dimensão: o espaço que contém apenas o vetor nulo tem dimensão 0. Uma forma de ver isso é que não existe nenhum vetor não-nulo que possa fazer parte de uma base; a base do espaço \{0\} é o conjunto vazio e, portanto, a dimensão (nullidade) é 0.

Passo 6

Definição de posto (rank) e aplicação: o posto de A, neste enunciado, é a dimensão do espaço das colunas de A, isto é,
\operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Col}(A)).
Usamos o Teorema da Dimensão (rank–nullity) que diz para uma matriz n\times n
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n.
Já achamos \operatorname{nullity}(A)=0. Logo
\operatorname{rank}(A)=n-0=n.

Passo 7

Interpretação alternativa (útil na prova): como Ax=0 só tem solução trivial, as colunas de A são linearmente independentes. Há n colunas num espaço de dimensão n, então essas n colunas formam uma base de \mathbb{R}^n e, portanto, o espaço coluna é todo \mathbb{R}^n e sua dimensão é n. Isso confirma \operatorname{rank}(A)=n.

Resposta

(a) \operatorname{Nul}(A)=\{0\}, \dim(\operatorname{Nul}(A))=0.\n
(b) \operatorname{rank}(A)=n.

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