Considere as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & -2 \\\\ -5 & 9 & 1\end{array}\right],
(a) Encontre as dimensões dos espaços coluna e nulo de A.
(b) Determine um conjunto gerador para o espaço nulo e o espaço coluna das matrizes acima
(c) Diga se os conjuntos geradores são base ou não. No caso de não serem base, apresente uma base para estes espaços.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (identificar claramente o que se pede e o que foi dado):
Temos a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -3 & -2 \\[4pt] -5 & 9 & 1\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
  • (a) Encontrar as dimensões do espaço coluna de A e do espaço nulo de A.
  • (b) Determinar um conjunto gerador para o espaço nulo e para o espaço coluna de A.
  • (c) Dizer se os conjuntos geradores são base; se não forem, apresentar uma base para esses espaços.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A é uma matriz de tamanho 2\times3 (duas linhas, três colunas).
  • As colunas de A são vetores em \mathbb{R}^2; o espaço coluna é subespaço de \mathbb{R}^2.
  • O espaço nulo consiste dos vetores x\in\mathbb{R}^3 tais que Ax=0.]

Passo 2

Redução por linhas para encontrar pivôs (mostrando cada operação e explicando o porquê):
Escrevo A e faço operações elementares de linha (essas operações não mudam o conjunto solução de Ax=0 nem o número de pivôs):
\begin{pmatrix}1 & -3 & -2 \\[4pt] -5 & 9 & 1\end{pmatrix}.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + 5R_1 para eliminar a primeira entrada da segunda linha:
R_2 = (-5,9,1) + 5(1,-3,-2) = (0,-6,-9).
Resultado:
\begin{pmatrix}1 & -3 & -2 \\[4pt] 0 & -6 & -9\end{pmatrix}.
Divido a segunda linha por -3 (escolhi -3 porque simplifica os números):
R_2 \leftarrow \frac{1}{-3}R_2 \implies R_2 = (0,2,3).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix}1 & -3 & -2 \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{pmatrix}.
Para zerar o -3 em R_1 na coluna 2, faço R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{3}{2}R_2:
R_1 = (1,-3,-2) + \tfrac{3}{2}(0,2,3) = (1,0,\tfrac{5}{2}).
Obtenho a forma reduzida por linhas (já com pivôs nas colunas 1 e 2):
\begin{pmatrix}1 & 0 & \tfrac{5}{2} \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{pmatrix}.
Finalmente, para ter pivôs iguais a 1 posso dividir a segunda linha por 2:
\begin{pmatrix}1 & 0 & \tfrac{5}{2} \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
Esta é uma forma em que os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2. Explicação: pivôs são as primeiras entradas não nulas em cada linha não-nula após a redução; o número de pivôs é o posto (rank).]

Passo 3

Determinar a dimensão do espaço coluna e do espaço nulo (usar rank-nullity com explicação):
Contando pivôs na forma reduzida temos dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Portanto
\text{rank}(A)=2.
O espaço coluna de A tem dimensão igual ao posto:
\dim(\text{Col}(A))=\text{rank}(A)=2.
Usamos o Teorema do posto-nulidade (rank–nullity), que diz: para uma matriz A de tamanho m\times n,
\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n,
onde \text{nullity}(A)=\dim(\ker A) e n é o número de colunas. Aqui n=3, então
\dim(\ker A)=\text{nullity}(A)=3-\text{rank}(A)=3-2=1.
Logo o espaço nulo tem dimensão 1.

Passo 4

Calcular explicitamente o espaço nulo (resolver Ax=0 usando a forma reduzida) e explicar cada passo:
Da forma reduzida
\begin{pmatrix}1 & 0 & \tfrac{5}{2} \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}
as equações correspondentes para x=(x_1,x_2,x_3)^T são
x_1 + \tfrac{5}{2}x_3 = 0,
x_2 + \tfrac{3}{2}x_3 = 0.
Escolhemos a variável livre x_3 = t (parâmetro). Então
x_1 = -\tfrac{5}{2}t,\qquad x_2 = -\tfrac{3}{2}t,\qquad x_3 = t.
Escrevendo em forma vetorial:
x = t\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} \\[4pt] -\tfrac{3}{2} \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Podemos multiplicar o vetor gerador por 2 para eliminar frações (isso não altera o subespaço gerado). Assim um gerador inteiro é
\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix},
e o espaço nulo é
\ker A = \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.
Explicação didática: o espaço nulo é o conjunto de todas as combinações escalares desse vetor; como a dimensão é 1, qualquer vetor não-nulo nessa direção gera todo o espaço nulo.]

Passo 5

Obter um conjunto gerador para o espaço coluna e reduzir para uma base (usar colunas originais e a relação entre elas):
As colunas originais de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Por definição, as colunas de A geram o espaço coluna, então um conjunto gerador é \{c_1,c_2,c_3\}.
Podemos encontrar relações lineares entre as colunas usando o vetor do espaço nulo. Se v=(-5,-3,2)^T está no núcleo, então
-5c_1 -3c_2 +2c_3 = 0.
Dessa relação obtemos
2c_3 = 5c_1 + 3c_2 \quad\Rightarrow\quad c_3 = \tfrac{5}{2}c_1 + \tfrac{3}{2}c_2.
Portanto c_3 é combinação linear de c_1 e c_2, logo \{c_1,c_2\} já gera a coluna espaço. Como \dim(\text{Col}(A))=2, duas colunas independentes formam uma base. As colunas c_1 e c_2 são independentes porque correspondem a colunas pivô (ou verificando o determinante da matriz 2\times2 formada por c_1,c_2):
\det\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] -5 & 9\end{pmatrix} = 1\cdot 9 - (-3)\cdot(-5) = 9-15 = -6 \neq 0,
portanto independentes. Assim uma base natural para o espaço coluna é
\left\{ \begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix} \right\}.]

Passo 6

Verificação final sobre se os conjuntos geradores são bases e apresentação explícita das bases:
  • Espaço nulo: o conjunto gerador \left\{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\} é formado por um vetor não-nulo, portanto é linearmente independente e gera todo o espaço nulo de dimensão 1. Logo é uma base do espaço nulo.
  • Espaço coluna: o conjunto gerador formado por todas as colunas \{c_1,c_2,c_3\} gera o espaço coluna, mas não é uma base porque é linearmente dependente (há uma relação entre elas). Uma base é, por exemplo, o conjunto das colunas pivô \{c_1,c_2\}, i.e.
\left\{ \begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix} \right\}.]

Resposta

(a) \dim(\text{Col}(A))=2,\\ \dim(\ker A)=1
(b) \ker A=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\},\quad \text{Col}(A)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\} (minimalmente \text{Col}(A)=\operatorname{span}\!\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix}\})
(c) O gerador do núcleo \{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\} é uma base do núcleo.
O gerador formado pelas três colunas não é base (há dependência); uma base para o espaço coluna é \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix}\right\}.]

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