Considere as seguintes matrizes: A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & -2 \\\\ -5 & 9 & 1\end{array}\right],
(a) Encontre as dimensões dos espaços coluna e nulo de A.
(b) Determine um conjunto gerador para o espaço nulo e o espaço coluna das matrizes acima
(c) Diga se os conjuntos geradores são base ou não. No caso de não serem base, apresente uma base para estes espaços.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (identificar claramente o que se pede e o que foi dado):
Esta é uma forma em que os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2. Explicação: pivôs são as primeiras entradas não nulas em cada linha não-nula após a redução; o número de pivôs é o posto (rank).]
Passo 3
Determinar a dimensão do espaço coluna e do espaço nulo (usar rank-nullity com explicação):
Contando pivôs na forma reduzida temos dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Portanto
\text{rank}(A)=2.
O espaço coluna de A tem dimensão igual ao posto:
\dim(\text{Col}(A))=\text{rank}(A)=2.
Usamos o Teorema do posto-nulidade (rank–nullity), que diz: para uma matriz A de tamanho m\times n,
\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n,
onde \text{nullity}(A)=\dim(\ker A) e n é o número de colunas. Aqui n=3, então
as equações correspondentes para x=(x_1,x_2,x_3)^T são
x_1 + \tfrac{5}{2}x_3 = 0,
x_2 + \tfrac{3}{2}x_3 = 0.
Escolhemos a variável livre x_3 = t (parâmetro). Então
x_1 = -\tfrac{5}{2}t,\qquad x_2 = -\tfrac{3}{2}t,\qquad x_3 = t.
Escrevendo em forma vetorial:
x = t\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} \\[4pt] -\tfrac{3}{2} \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Podemos multiplicar o vetor gerador por 2 para eliminar frações (isso não altera o subespaço gerado). Assim um gerador inteiro é
\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix},
e o espaço nulo é
\ker A = \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.
Explicação didática: o espaço nulo é o conjunto de todas as combinações escalares desse vetor; como a dimensão é 1, qualquer vetor não-nulo nessa direção gera todo o espaço nulo.]
Passo 5
Obter um conjunto gerador para o espaço coluna e reduzir para uma base (usar colunas originais e a relação entre elas):
Portanto c_3 é combinação linear de c_1 e c_2, logo \{c_1,c_2\} já gera a coluna espaço. Como \dim(\text{Col}(A))=2, duas colunas independentes formam uma base. As colunas c_1 e c_2 são independentes porque correspondem a colunas pivô (ou verificando o determinante da matriz 2\times2 formada por c_1,c_2):
Verificação final sobre se os conjuntos geradores são bases e apresentação explícita das bases:
Espaço nulo: o conjunto gerador \left\{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\} é formado por um vetor não-nulo, portanto é linearmente independente e gera todo o espaço nulo de dimensão 1. Logo é uma base do espaço nulo.
Espaço coluna: o conjunto gerador formado por todas as colunas \{c_1,c_2,c_3\} gera o espaço coluna, mas não é uma base porque é linearmente dependente (há uma relação entre elas). Uma base é, por exemplo, o conjunto das colunas pivô \{c_1,c_2\}, i.e.
(c) O gerador do núcleo \{\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\} é uma base do núcleo.
O gerador formado pelas três colunas não é base (há dependência); uma base para o espaço coluna é \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\[4pt]9\end{pmatrix}\right\}.]