Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
© passa pelos pontos A=(-2,1,0), B=(-1,4,2) e C=(0,-2,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois calcular o produto vetorial desses vetores para determinar a normal do plano.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-1 - (-2), 4 - 1, 2 - 0) = (1, 3, 2) e AC = C - A = (0 - (-2), -2 - 1, 2 - 0) = (2, -3, 2) :

Passo 3

Agora que temos os vetores n = AB times AC = i & j & k 1 & 3 & 2 2 & -3 & 2 e n = i(3 cdot 2 - 2 cdot (-3)) - j(1 cdot 2 - 2 cdot 2) + k(1 cdot (-3) - 3 cdot 2) , vamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial:
n = i(6 + 6) - j(2 - 4) + k(-3 - 6)
Calculando o determinante:
n = 12i + 2j - 9k
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 12(x - (-2)) + 2(y - 1) - 9(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
12(x + 2) + 2(y - 1) - 9z = 0
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
12x + 24 + 2y - 2 - 9z = 0
12x + 2y - 9z + 22 = 0
Para deixar a equação mais simplificada e com menores coeficientes, podemos dividir todos os termos por 2:
6x + y - 92z + 11 = 0
Mas geralmente, mantemos os coeficientes inteiros, então podemos deixar assim:
12x + 2y - 9z + 22 = 0

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados