Considere a matriz A=[llx1 & y1 x2 & y2], veremos que o valor absoluto do det(A) é exatamente a área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2), sendo u e v vetores não paralelos.
  • Consideremos o caso em que u e v são perpendiculares. Assim, se x1 neq 0 e x2 neq 0 é claro que
y1x1 cdot y2x2=-1 Rightarrow x1 x2+y1 y2=0
como x1=0 Rightarrow y2=0 e x2=0 Rightarrow y1=0 ( pois u e v são perpendiculares), então:
x1 x2+y1 y2=0, forall u, v
Sejam a a área do paralelogramo determinado por u e v, l1 e l2 comprimentos de u e v respectivamente, assim temos:
a^2=l1^2 l2^2=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)=|cc x1^2+y1^2 & 0 0 & x2^2+y2^2 |=det(A A^t)=(det(A))^2,
portanto a=|det(A)|.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz x1 & y1 x2 & y2 que representa dois vetores e . O problema está falando sobre como o valor absoluto do determinante dessa matriz, , é igual à área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e áreas de paralelogramos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz 2x2. Para a matriz a & b c & d , o determinante é calculado assim:
det(A) = ad - bc
Esse valor nos dá algumas informações sobre as propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a área do paralelogramo formado pelos vetores Área = |det(A)| e . Quando temos dois vetores no plano, o paralelogramo que eles formam tem uma área que pode ser calculada usando o determinante da matriz formada por esses vetores. Ou seja:
Á
Isso acontece porque o determinante mede como o espaço é esticado ou retraído pela transformação linear representada pela matriz .

Passo 4

Vamos considerar o caso especial em que os vetores y1x1 cdot y2x2 = -1 implies x1x2 + y1y2 = 0 e são perpendiculares. Nesse caso, a inclinação de um vetor é o negativo do inverso da inclinação do outro. Matematicamente, isso significa:
Isso mostra que o produto interno dos vetores é zero, o que confirma que eles são perpendiculares.

Passo 5

Quando Área = l1 cdot l2 e Área^2 = l1^2 cdot l2^2 = (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) são perpendiculares, a área do paralelogramo também pode ser calculada multiplicando os comprimentos dos vetores. Se e são os comprimentos de e , respectivamente, então:
Á
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Á

Passo 6

Essa expressão pode ser representada como o determinante do produto da matriz Área^2 = det(A A^t) = (det(A))^2 pela sua transposta Área = |det(A)| :
Á
Tomando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Á
Isso confirma que a área do paralelogramo formado por e é igual ao valor absoluto do determinante de .

Resposta

Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores e é igual a .

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