S1:c2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+k z=0
S2:ccx+6 y-k z+w & =0 x+y-w & =0 4 x+y+6 z+k w & =0.
(a) Para cada sistema, encontre os valores de k para os quais o sistema seja possível e indeterminado.
(b) Para cada sistema, considere k=-3 e determine a solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes, cada uma com dois sistemas de equações. O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas lineares, especificamente analisando quando eles têm soluções infinitas. Para isso, vamos precisar entender como verificar se um sistema é possível e indeterminado usando determinantes ou análise de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o Sistema S₁:
2x - 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + kz = 0
Queremos encontrar os valores de que fazem o sistema ser possível e indeterminado.

Passo 3

Para que o sistema seja possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos montar a matriz dos coeficientes de S₁:
A = 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
Calculamos o determinante de det(A) = 2 cdot (1 cdot k - 1 cdot 0) - (-5) cdot (1 cdot k - 1 cdot 2) + 2 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 2) :
det(A) = 2k + 5(k - 2) + 2(-2) = 2k + 5k - 10 - 4 = 7k - 14
Simplificando:
7k - 14 = 0 implies k = 2
Para que o determinante seja zero:

Passo 4

Agora, vamos para o Sistema S₂:
x + 6y - kz + w = 0 x + y - w = 0 4x + y + 6z + kw = 0
Também queremos encontrar os valores de que tornam o sistema possível e indeterminado.

Passo 5

Montamos a matriz dos coeficientes de S₂:
B = 1 & 6 & -k & 1 1 & 1 & 0 & -1 4 & 1 & 6 & k
Como temos um sistema com 4 incógnitas e 3 equações, para ele ser indeterminado, precisamos que pelo menos uma variável seja livre. Isso ocorre quando as linhas da matriz são linearmente dependentes, ou seja, o determinante das matrizes menores de 3x3 deve ser zero.
Aqui, como há 4 variáveis, precisamos garantir que a combinação das equações não traga contradições e que haja pelo menos uma variável livre. Uma abordagem mais simples é verificar se as equações são proporcionalmente dependentes.
Após análises, descobrimos que o valor de que satisfaz essa condição é .

Resposta

(a)
  • Para o sistema 2x - 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x - 3z = 0 , o valor de x = 32z, y = -52z, z = z que torna o sistema possível e indeterminado é x + 6y + 3z + w = 0 x + y - w = 0 4x + y + 6z - 3w = 0 .
  • Para o sistema x = -2y - 3z, w = -y - 3z, y = y, z = z , o valor de que torna o sistema possível e indeterminado é .
(b)
  • Considerando no sistema , substituindo:
Resolvendo, obtemos uma solução com infinitas possibilidades, por exemplo:
Onde é um parâmetro livre.
  • Considerando no sistema , substituindo:
Resolvendo, obtemos:
Onde e são parâmetros livres.

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