Considere a matriz de Pauli \sigma_{x}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right). Use os autovetores dessa matriz para construir uma transformação unitária de forma que:
U^{\dagger} \sigma_{x} U=\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\\\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right)
onde \lambda_{1,2} são os autovalores de \sigma_{x}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de Pauli \sigma_{x} e pede para construir uma transformação unitária U usando os autovetores de \sigma_{x} de modo que
U^{\dagger}\sigma_{x}U=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0\\[4pt] 0 & \lambda_{2}\end{pmatrix},
onde \lambda_{1} e \lambda_{2} são os autovalores de \sigma_{x}.
Informações dadas:
\sigma_{x}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Encontrar os autovalores \lambda_{1},\lambda_{2} de \sigma_{x}.
  • Encontrar autovetores correspondentes e, a partir deles, montar uma matriz unitária U que diagonalize \sigma_{x} conforme a igualdade acima.]

Passo 2

Calcular os autovalores de \sigma_{x}.
A equação característica é
\det(\sigma_{x}-\lambda I)=0.
Calculando:
\det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(-\lambda)-1=\lambda^{2}-1.
Portanto
\lambda^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.
Logo \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1 (a ordem é uma convenção que depende de como colocarmos os autovetores nas colunas de U).]

Passo 3

Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para \lambda=1 resolvemos
(\sigma_{x}-I)v=0 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
As equações dão -v_{1}+v_{2}=0 e v_{1}-v_{2}=0, ou seja v_{1}=v_{2}. Um autovetor conveniente é
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 resolvemos
(\sigma_{x}+I)v=0 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
o que dá v_{1}=-v_{2}. Um autovetor conveniente é
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Normalizar e ortonormalizar os autovetores (necessário para obter U unitária).
Os vetores encontrados são ortogonais entre si porque
\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}=1-1=0.
Norma de cada um:
\left\|\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, \qquad \left\|\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Dividindo por \sqrt{2} obtemos os vetores normalizados (autovetores unitários):
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}, \qquad u_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz unitária U cujas colunas são os autovetores normalizados (escolhendo a ordem que fixa \lambda_{1}=1 na primeira posição e \lambda_{2}=-1 na segunda).
Portanto, tomar as colunas em ordem (u_{1},u_{2})
U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Explicação de por que isso funciona: as colunas de U formam uma base ortonormal; para qualquer matriz Hermitiana (como \sigma_{x}) a matriz cujas colunas são autovetores ortonormais diagonaliza a matriz via conjugação unitária.]

Passo 6

Verificar que U é unitária e que diagonaliza \sigma_{x}.
Unitariedade: calcular U^{\dagger}U. Como U é real, U^{\dagger}=U^{T}. Usando ortonormalidade dos vetores coluna, tem-se
U^{\dagger}U=I.
(Se for preciso ver o produto explicitamente, multiplica-se as colunas e obtém-se a identidade 2×2.)
Diagonalização: como cada coluna u_{j} é autovetor de \sigma_{x} com autovalor \lambda_{j}, vale
\sigma_{x}u_{1}=1\cdot u_{1},\qquad \sigma_{x}u_{2}=-1\cdot u_{2}.
Isso implica que, na base dada por u_{1},u_{2},
U^{\dagger}\sigma_{x}U=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Resposta

U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}
U^{\dagger}\sigma_{x}U=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}

Exercícios relacionados