Considere a matriz de Pauli \sigma_{x}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right). Use os autovetores dessa matriz para construir uma transformação unitária de forma que:
Montar a matriz unitária U cujas colunas são os autovetores normalizados (escolhendo a ordem que fixa \lambda_{1}=1 na primeira posição e \lambda_{2}=-1 na segunda).
Portanto, tomar as colunas em ordem (u_{1},u_{2}) dá
Explicação de por que isso funciona: as colunas de U formam uma base ortonormal; para qualquer matriz Hermitiana (como \sigma_{x}) a matriz cujas colunas são autovetores ortonormais diagonaliza a matriz via conjugação unitária.]
Passo 6
Verificar que U é unitária e que diagonaliza \sigma_{x}.
Unitariedade: calcular U^{\dagger}U. Como U é real, U^{\dagger}=U^{T}. Usando ortonormalidade dos vetores coluna, tem-se
U^{\dagger}U=I.
(Se for preciso ver o produto explicitamente, multiplica-se as colunas e obtém-se a identidade 2×2.)
Diagonalização: como cada coluna u_{j} é autovetor de \sigma_{x} com autovalor \lambda_{j}, vale