onde; \left|\phi_{1}\right\rangle e \left|\phi_{2}\right\rangle formam uma base ortonormal e completa.
a) O operador A é Hermitiano?
b) Encontre os autovalores e autovetores de A e mostre que satisfaz a relação de completeza.
e informa que \left|\phi_{1}\right\rangle e \left|\phi_{2}\right\rangle formam uma base ortonormal e completa (ou seja, \langle\phi_i|\phi_j\rangle=\delta_{ij} e \left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|+\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|=I no espaço considerado).
As perguntas são:
a) O operador A é Hermitiano?
b) Encontrar os autovalores e autovetores de A e mostrar que eles satisfazem a relação de completude.
Passo 2
O que significa “Hermitiano” e como checar na forma bra-ket.
Um operador A é Hermitiano se A^\dagger = A. Para termos bras e kets simples vale a regra
Somando, obtemos exatamente A^\dagger = A. Portanto A é Hermitiano. (Isso já era plausível: os coeficientes da diagonal são reais e os off-diagonais são conjugados um do outro, como costuma acontecer em matrizes Hermitianas.)
Passo 4
Passar para uma representação matricial na base ortonormal \{\left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle\} — isso facilita achar autovalores e autovetores. Defino a matriz M com entradas
Encontrar o autovetor associado a \lambda=3. Resolvemos (M-3I)\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=0, ou seja
\begin{pmatrix}-1 & -i \\[4pt] i & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -a - i b = 0, então a=-i b. Tomando b=1 (escolha de escala), um autovetor não normalizado é \begin{pmatrix}-i \\[2pt] 1\end{pmatrix}. O quadrado da norma é
que satisfaz A\left|\psi_{3}\right\rangle = 3\left|\psi_{3}\right\rangle.]
Passo 7
Encontrar o autovetor associado a \lambda=1. Resolvendo (M-1I)\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=0 obtemos
\begin{pmatrix}1 & -i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
da primeira linha a - i b = 0, então a = i b. Tomando b=1, um autovetor não normalizado é \begin{pmatrix}i\\\\ 1\end{pmatrix}. A norma ao quadrado é novamente 1+1=2, portanto a versão normalizada é
Posso verificar explicitamente calculando as matrizes dos projetores na base \{\left|\phi_1\right\rangle,\left|\phi_2\right\rangle\}. Usando as componentes:
\left|\psi_{3}\right\rangle\left\langle\psi_{3}\right|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -i \\[2pt] 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} i & 1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix},
Isto mostra explicitamente que os autovetores constituem uma base completa (a soma dos projetores é a identidade). Como consequência, A admite a decomposição espectral
A = 3\left|\psi_{3}\right\rangle\left\langle\psi_{3}\right| + 1\left|\psi_{1}\right\rangle\left\langle\psi_{1}\right|.]
Resposta
a) Sim, A é Hermitiano.
b) Autovalores: \lambda=3 e \lambda=1.
Autovetores normalizados: