O que precisa ser mostrado: calcular H|0\rangle e H|1\rangle e interpretar os resultados como superposições das bases |0\rangle e |1\rangle.]
Passo 2
Vou lembrar como multiplicar uma matriz 2\times2 por um vetor coluna de dimensão 2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix},
então o produto é
Av=\begin{pmatrix}a v_1 + b v_2\\[4pt] c v_1 + d v_2\end{pmatrix}.
Cada componente do vetor resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha correspondente de A pelos componentes de v. Essa é a regra que vou aplicar.]
Passo 3
Calcular H|0\rangle aplicando a regra acima. Usando os valores de H e de |0\rangle:
ou seja, é um estado normalizado. As probabilidades de obter |0\rangle ou |1\rangle numa medida na base computacional são |1/\sqrt{2}|^2=1/2 cada uma. Isso é exatamente a descrição de uma superposição igualitária entre |0\rangle e |1\rangle.]
Novamente, os coeficientes são \pm 1/\sqrt{2}, cada módulo igual a 1/\sqrt{2}, então as probabilidades de obter |0\rangle ou |1\rangle são 1/2 cada uma. A diferença de sinal entre os coeficientes é importante: indica fase relativa, que afeta interferências em processos posteriores.]
Passo 5
Interpretação final e comentário útil para prova. As duas contas mostram que H transforma os estados da base computacional em superposições iguais (coeficientes com módulos iguais):
Dica prática: ao aplicar uma matriz em vetores padrão \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, basta ler as colunas da matriz (multiplicar pelos vetores padrões retorna as colunas). Assim a primeira coluna de H é H|0\rangle e a segunda coluna é H|1\rangle. Isso costuma acelerar muito na prova.]