Usando a representação matricial, mostre que a matriz de Hadamard
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right)
produz estados de superposição para as bases |0\rangle=\binom{1}{0} e |1\rangle=\binom{0}{1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz H e as bases |0\rangle e |1\rangle, e pede para mostrar que H produz estados de superposição a partir dessas bases.
Informações fornecidas:
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad |0\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad |1\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O que precisa ser mostrado: calcular H|0\rangle e H|1\rangle e interpretar os resultados como superposições das bases |0\rangle e |1\rangle.]

Passo 2

Vou lembrar como multiplicar uma matriz 2\times2 por um vetor coluna de dimensão 2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix},
então o produto é
Av=\begin{pmatrix}a v_1 + b v_2\\[4pt] c v_1 + d v_2\end{pmatrix}.
Cada componente do vetor resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha correspondente de A pelos componentes de v. Essa é a regra que vou aplicar.]

Passo 3

Calcular H|0\rangle aplicando a regra acima. Usando os valores de H e de |0\rangle:
H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora faço as somas nas componentes:
H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\cdot1 + 1\cdot0\\[4pt]1\cdot1 + (-1)\cdot0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Reescrevendo esse vetor como combinação linear das bases |0\rangle e |1\rangle, que são exatamente os vetores coluna dados:
H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|0\rangle + |1\rangle\bigr).
Explicação didática: os coeficientes da combinação linear são ambos 1/\sqrt{2}. Para verificar normalização, calculo a norma ao quadrado:
\left\|\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\|^2 = \frac{1}{2}\bigl(1^2 + 1^2\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2 = 1,
ou seja, é um estado normalizado. As probabilidades de obter |0\rangle ou |1\rangle numa medida na base computacional são |1/\sqrt{2}|^2=1/2 cada uma. Isso é exatamente a descrição de uma superposição igualitária entre |0\rangle e |1\rangle.]

Passo 4

Calcular H|1\rangle do mesmo modo:
H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\cdot0 + 1\cdot1\\[4pt]1\cdot0 + (-1)\cdot1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Em forma de combinação linear das bases:
H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|0\rangle - |1\rangle\bigr).
Novamente, os coeficientes são \pm 1/\sqrt{2}, cada módulo igual a 1/\sqrt{2}, então as probabilidades de obter |0\rangle ou |1\rangle são 1/2 cada uma. A diferença de sinal entre os coeficientes é importante: indica fase relativa, que afeta interferências em processos posteriores.]

Passo 5

Interpretação final e comentário útil para prova. As duas contas mostram que H transforma os estados da base computacional em superposições iguais (coeficientes com módulos iguais):
H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|0\rangle + |1\rangle\bigr), \qquad H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|0\rangle - |1\rangle\bigr).
Dica prática: ao aplicar uma matriz em vetores padrão \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, basta ler as colunas da matriz (multiplicar pelos vetores padrões retorna as colunas). Assim a primeira coluna de H é H|0\rangle e a segunda coluna é H|1\rangle. Isso costuma acelerar muito na prova.]

Resposta

H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|0\rangle+|1\rangle\bigr)
H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|0\rangle-|1\rangle\bigr)

Exercícios relacionados