Considere a matriz quadrada de ordem n dada por
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \end{array}\right]
Mostre que \operatorname{det}(A)=(-1)^{n-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada de ordem n cujas entradas são:
  • a_{11}=1 e a_{1j}=1 para todo j.
  • Para i\ge2: a_{ii}=0 e a_{ij}=1 quando j\neq i.
Em outras palavras, a matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.
O que se pede: provar que \det(A)=(-1)^{n-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usarei:
  • Os elementos das linhas podem ser descritos em termos do vetor de uns e dos vetores da base canônica.
  • Posso aplicar operações elementares por linhas, desde que controle como isso afeta o determinante.]

Passo 2

Vou reescrever as linhas de A de forma mais conveniente. Defina o vetor coluna de todos os uns
u=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]\vdots\\[2pt]1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^n
e os vetores da base canônica \,e_i ( e_i tem 1 na posição i e zeros nas outras). Então as linhas de A (vistas como vetores linha) são:
\text{linha }1 = u^\top, \qquad \text{linha }i = u^\top - e_i^\top\quad\text{para }i=2,\dots,n.
Isto é, cada linha i\ge2 é “vetor de uns” menos o vetor que tem 1 apenas na coluna i.
Antes de calcular o determinante, lembro duas propriedades de determinantes que vou usar (vou explicá‑las):
  • Operação por linhas do tipo R_i\leftarrow R_i - R_j (subtrair de uma linha outra linha) não altera o determinante. Isso porque essa operação equivale a somar uma múltipla de uma linha a outra, e tal operação preserva o determinante.
  • Se uma linha for multiplicada por um escalar c, o determinante é multiplicado por c. Em particular, fatorar um -1 de uma linha traz um fator -1 no determinante.]

Passo 3

Aplicarei operações de linha que simplificam a matriz sem alterar o determinante. Para cada i=2,\dots,n execute a operação
R_i \leftarrow R_i - R_1.
Pela propriedade acima, cada uma dessas operações não altera o valor do determinante, logo o determinante da nova matriz (chamei‑a de B) é igual a \det(A).
Vamos ver como ficam as linhas após essas operações:
  • A linha 1 permanece u^\top.
  • Para i\ge2:
R_i \text{ nova } = (u^\top - e_i^\top) - u^\top = -\,e_i^\top.
Portanto, a matriz B obtida tem linhas
\text{linha }1 = u^\top,\qquad \text{linha }i = -e_i^\top\\ \text{ para }i=2,\dots,n.

Passo 4

Escrevendo B explicitamente:
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{pmatrix}.
Repare que nas linhas 2 até n aparece um único -1 cada uma, na posição diagonal correspondente.
Como cada operação R_i\leftarrow R_i - R_1 não mudou o determinante,
\det(A)=\det(B).]

Passo 5

Agora fatoro -1 de cada uma das linhas 2,\dots,n. Fatorar -1 de uma linha multiplica o determinante por -1; fazendo isso para n-1 linhas introduz um fator (-1)^{n-1}. Assim,
\det(B)=(-1)^{n-1}\det\!\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.
A matriz dentro do determinante agora tem a primeira linha u^\top e, nas linhas 2 a n, os vetores e_2^\top,\dots,e_n^\top.]

Passo 6

Calcule o determinante da matriz
C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.
Note que a primeira coluna de C é (1,0,0,\dots,0)^\top. Desenvolvendo o determinante ao longo da primeira coluna (ou observando que ao remover a primeira linha e primeira coluna fica a matriz identidade de ordem n-1), obtemos
\det\text{(C)}=1\cdot\det(I_{n-1})=1.
Portanto \det\text{(C)}=1.]

Passo 7

Juntando os resultados:
\det(A)=\det(B)=(-1)^{n-1}\det\text{(C)}=(-1)^{n-1}\cdot 1 = (-1)^{n-1}.
Esse é exatamente o resultado pedido.

Resposta

(-1)^{n-1}

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