Isto é, cada linha i\ge2 é “vetor de uns” menos o vetor que tem 1 apenas na coluna i.
Antes de calcular o determinante, lembro duas propriedades de determinantes que vou usar (vou explicá‑las):
Operação por linhas do tipo R_i\leftarrow R_i - R_j (subtrair de uma linha outra linha) não altera o determinante. Isso porque essa operação equivale a somar uma múltipla de uma linha a outra, e tal operação preserva o determinante.
Se uma linha for multiplicada por um escalar c, o determinante é multiplicado por c. Em particular, fatorar um -1 de uma linha traz um fator -1 no determinante.]
Passo 3
Aplicarei operações de linha que simplificam a matriz sem alterar o determinante. Para cada i=2,\dots,n execute a operação
R_i \leftarrow R_i - R_1.
Pela propriedade acima, cada uma dessas operações não altera o valor do determinante, logo o determinante da nova matriz (chamei‑a de B) é igual a \det(A).
Vamos ver como ficam as linhas após essas operações:
Repare que nas linhas 2 até n aparece um único -1 cada uma, na posição diagonal correspondente.
Como cada operação R_i\leftarrow R_i - R_1 não mudou o determinante,
\det(A)=\det(B).]
Passo 5
Agora fatoro -1 de cada uma das linhas 2,\dots,n. Fatorar -1 de uma linha multiplica o determinante por -1; fazendo isso para n-1 linhas introduz um fator (-1)^{n-1}. Assim,
Note que a primeira coluna de C é (1,0,0,\dots,0)^\top. Desenvolvendo o determinante ao longo da primeira coluna (ou observando que ao remover a primeira linha e primeira coluna fica a matriz identidade de ordem n-1), obtemos