Uma matriz antissimétrica de ordem ímpar pode ser ortogonal? E de ordem par? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Pergunta 1: Uma matriz antissimétrica de ordem ímpar pode ser ortogonal?
  • Pergunta 2: Uma matriz antissimétrica de ordem par pode ser ortogonal?
Informações dadas (assumindo matrizes reais quadradas, que é o caso padrão aqui):
  • “Matriz antissimétrica” significa que, para uma matriz A, vale \,A^{T} = -A\,.
  • “Matriz ortogonal” significa que, para uma matriz A, vale \,A^{T}A = I\, (o que implica que A é invertível e \det(A)^2 = 1).

Passo 2

Propriedade determinantal útil e sua consequência para ordem ímpar.
Explico uma identidade simples que vamos usar: para toda matriz quadrada A vale \det(A^{T})=\det(A) e \det(-A)=(-1)^{n}\det(A), onde n é a ordem de A.
Como A é antissimétrica, temos A^{T}=-A. Tomando determinantes em ambos os lados:
\det(A^{T})=\det(-A).
Pela identidade acima:
\det(A)=(-1)^{n}\det(A).
Reorganizando:
\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)\det(A)=0.
Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1, logo 1-(-1)^{n}=2 e a equação fica
2\det(A)=0 \quad\Rightarrow\quad \det(A)=0.
Interpretação: uma matriz antissimétrica de ordem ímpar tem determinante nulo, portanto é singular (não invertível).

Passo 3

Por que isso impede a ortogonalidade no caso ímpar.
Uma matriz ortogonal é invertível (a inversa é A^{-1}=A^{T}) e, em particular, tem |\det(A)|=1 (pois \det(A^{T}A)=\det(I)\Rightarrow \det(A)^2=1). Mas no Passo 2 vimos que, se n é ímpar, qualquer matriz antissimétrica tem \det(A)=0. Logo uma matriz antissimétrica de ordem ímpar não pode ser ortogonal, porque ortogonal exige determinante \pm1 enquanto antissimétrica ímpar implica determinante 0.

Passo 4

Exemplo e construção para ordem par: existe sim.
Para n=2 dá um exemplo concreto e simples. Considere
J=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculemos J^{T} e -J:
J^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},\qquad -J=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},
logo J^{T}=-J, ou seja, J é antissimétrica. Agora verifiquemos ortogonalidade:
J^{T}J = (-J)J = -(JJ).
Calculando explicitamente
JJ=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
portanto J^{T}J=I. Assim J é ao mesmo tempo antissimétrica e ortogonal.
Para qualquer ordem par n=2m podemos construir uma matriz antissimétrica e ortogonal fazendo a diagonal por blocos formada por m cópias de J:
B=\operatorname{diag}(J,J,\dots,J)\quad\text{(com \(m\) blocos)}.
Cada bloco é antissimétrico e ortogonal, portanto B é antissimétrico e ortogonal. Isso mostra que, para qualquer ordem par, existem matrizes antissimétricas que são ortogonais.]

Passo 5

Observação extra (entendendo o determinante no caso par).
Como curiosidade — e para reforçar a intuição — note que, para uma matriz real antissimétrica ortogonal, os autovalores são complexos de módulo 1 e, pela antissimetria, só podem ser \pm i. Como os autovalores complexos de matrizes reais vêm em pares conjugados, em dimensão par o produto dos pares (i)(-i)=1 leva a \det(A)=1. Assim os exemplos construídos têm determinante +1 (não há contradição com \det(A)=\pm1 da ortogonalidade); no caso ímpar o determinante era forçado a zero, o que já descartava a ortogonalidade.

Resposta

Uma matriz antissimétrica de ordem ímpar não pode ser ortogonal.\nUma matriz antissimétrica de ordem par pode ser ortogonal (por exemplo, para n=2 a matriz \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} é antissimétrica e ortogonal).]

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