Uma matriz antissimétrica de ordem ímpar pode ser ortogonal? E de ordem par? Justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Pergunta 1: Uma matriz antissimétrica de ordem ímpar pode ser ortogonal?
- Pergunta 2: Uma matriz antissimétrica de ordem par pode ser ortogonal?
Informações dadas (assumindo matrizes reais quadradas, que é o caso padrão aqui):
- “Matriz antissimétrica” significa que, para uma matriz
, vale . - “Matriz ortogonal” significa que, para uma matriz
, vale (o que implica que é invertível e ).
Passo 2
Propriedade determinantal útil e sua consequência para ordem ímpar.
Explico uma identidade simples que vamos usar: para toda matriz quadrada
vale
e
, onde
é a ordem de
.
Como
é antissimétrica, temos
. Tomando determinantes em ambos os lados:
Pela identidade acima:
Reorganizando:
Se
é ímpar então
, logo
e a equação fica
Interpretação: uma matriz antissimétrica de ordem ímpar tem determinante nulo, portanto é singular (não invertível).
Passo 3
Por que isso impede a ortogonalidade no caso ímpar.
Uma matriz ortogonal é invertível (a inversa é
) e, em particular, tem
(pois
). Mas no Passo 2 vimos que, se
é ímpar, qualquer matriz antissimétrica tem
. Logo uma matriz antissimétrica de ordem ímpar não pode ser ortogonal, porque ortogonal exige determinante
enquanto antissimétrica ímpar implica determinante
.
Passo 4
Exemplo e construção para ordem par: existe sim.
Para
dá um exemplo concreto e simples. Considere
Calculemos
e
:
logo
, ou seja,
é antissimétrica. Agora verifiquemos ortogonalidade:
Calculando explicitamente
portanto
. Assim
é ao mesmo tempo antissimétrica e ortogonal.
Para qualquer ordem par
podemos construir uma matriz antissimétrica e ortogonal fazendo a diagonal por blocos formada por
cópias de
:
Cada bloco é antissimétrico e ortogonal, portanto
é antissimétrico e ortogonal. Isso mostra que, para qualquer ordem par, existem matrizes antissimétricas que são ortogonais.]
Passo 5
Observação extra (entendendo o determinante no caso par).
Como curiosidade — e para reforçar a intuição — note que, para uma matriz real antissimétrica ortogonal, os autovalores são complexos de módulo
e, pela antissimetria, só podem ser
. Como os autovalores complexos de matrizes reais vêm em pares conjugados, em dimensão par o produto dos pares
leva a
. Assim os exemplos construídos têm determinante
(não há contradição com
da ortogonalidade); no caso ímpar o determinante era forçado a zero, o que já descartava a ortogonalidade.
Resposta
Uma matriz antissimétrica de ordem ímpar não pode ser ortogonal.\nUma matriz antissimétrica de ordem par pode ser ortogonal (por exemplo, para
a matriz
é antissimétrica e ortogonal).]