Sabendo-se que
e
são matrizes quadradas de 3 ordem, tais que
e
, determine o valor do determinante da matriz
, tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas de ordem . -
. -
. - A matriz
satisfaz a igualdade matricial
O que se pede: determinar o valor de
.
Passo 2
Primeiro isolamos
na igualdade matricial dada. Somando
aos dois lados e multiplicando à direita por
(que existe porque aparece
no enunciado), obtemos
Passo 3
Agora vamos usar propriedades dos determinantes. Vou listar e explicar cada uma com calma:
- Propriedade do inverso: para uma matriz inversível
de ordem ,
Isto vem da relação
e da multiplicatividade do determinante.
- Propriedade da transposta: para qualquer matriz quadrada
,
Intuição simples: a transposição apenas reordena informações, mas os termos que formam o determinante ficam iguais (a soma sobre permutações é a mesma).
- Determinante do produto: para matrizes quadradas
e de mesma ordem,
- Determinante de múltiplo escalar: se
é e é escalar, então
No nosso caso
, portanto
.
Passo 4
Usando a propriedade do inverso para
:
Assim,
Passo 5
Usando a propriedade da transposta para
:
Passo 6
Agora calculamos
a partir de
. Aplicando as propriedades em sequência:
Usando
,
Substituindo os valores obtidos em passos anteriores:
Calculemos passo a passo:
. Então
Passo 7
Interpretação final rápida: a presença do escalar
multiplica o determinante por
porque a matriz é
; depois usamos multiplicatividade e invariância da transposta para obter o resultado numérico.