Sabendo-se que A e B são matrizes quadradas de 3 ordem, tais que \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{4} e \operatorname{det}\left(B^{t}\right)=\frac{3}{2}, determine o valor do determinante da matriz C, tal que C \cdot B^{-1}-2 A^{t}=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas de ordem 3.
  • \det\bigl(A^{-1}\bigr)=\dfrac{1}{4}.
  • \det\bigl(B^{t}\bigr)=\dfrac{3}{2}.
  • A matriz C satisfaz a igualdade matricial
C\cdot B^{-1}-2A^{t}=0.
O que se pede: determinar o valor de \det\text{(C)}.

Passo 2

Primeiro isolamos C na igualdade matricial dada. Somando 2A^{t} aos dois lados e multiplicando à direita por B (que existe porque aparece B^{-1} no enunciado), obtemos
C\cdot B^{-1}=2A^{t}\quad\Rightarrow\quad C=2A^{t}B.

Passo 3

Agora vamos usar propriedades dos determinantes. Vou listar e explicar cada uma com calma:
  • Propriedade do inverso: para uma matriz inversível M de ordem n,
\det(M^{-1})=\dfrac{1}{\det(M)}.
Isto vem da relação M M^{-1}=I e da multiplicatividade do determinante.
  • Propriedade da transposta: para qualquer matriz quadrada M,
\det(M^{t})=\det(M).
Intuição simples: a transposição apenas reordena informações, mas os termos que formam o determinante ficam iguais (a soma sobre permutações é a mesma).
  • Determinante do produto: para matrizes quadradas X e Y de mesma ordem,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • Determinante de múltiplo escalar: se M é n\times n e k é escalar, então
\det(kM)=k^{n}\det(M).
No nosso caso n=3, portanto \det(2M)=2^{3}\det(M)=8\det(M).

Passo 4

Usando a propriedade do inverso para A:
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\dfrac{1}{\det(A)}=\dfrac{1}{4}.
Assim,
\det(A)=4.

Passo 5

Usando a propriedade da transposta para B:
\det\bigl(B^{t}\bigr)=\det(B)=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Agora calculamos \det\text{(C)} a partir de C=2A^{t}B. Aplicando as propriedades em sequência:
\det\text{(C)}=\det(2A^{t}B)=\det(2I\cdot A^{t}B)=2^{3}\det(A^{t}B)=8\det(A^{t})\det(B).
Usando \det(A^{t})=\det(A),
\det\text{(C)}=8\det(A)\det(B).
Substituindo os valores obtidos em passos anteriores:
\det\text{(C)}=8\cdot 4\cdot \dfrac{3}{2}.
Calculemos passo a passo: \;4\cdot \dfrac{3}{2}=2\cdot 3=6. Então
\det\text{(C)}=8\cdot 6=48.

Passo 7

Interpretação final rápida: a presença do escalar 2 multiplica o determinante por 2^{3}=8 porque a matriz é 3\times3; depois usamos multiplicatividade e invariância da transposta para obter o resultado numérico.

Resposta

\det\text{(C)}=48

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