a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear tal que ,
Determine a matriz sendo a base canônica de .
Passo 1
O enunciado define Scolon M2( R)to R e fornece valores de S em quatro matrizes específicas. Queremos achar a matriz [S]gamma^beta, onde beta é a base canônica de M2( R) e gamma é a base canônica de R.
Passo 2
Denotemos os vetores da base canônica de M2( R) por
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Seja
a=S(E11), b=S(E12), c=S(E21), d=S(E22)
Então a matriz de S relativa a beta,gamma é
[S]gamma^beta = a & b & c & d
Passo 3
Expressando cada matriz dada em função de Eij e usando linearidade de S, obtemos o sistema
Sl(2&11&0r)=2a + b + c = -2, Sl(0&30&3r)=3b + 3d = 3, Sl(1&11&1r)=a + b + c + d = -2, Sl(0&11&0r)=b + c = -1
Passo 4
Da última equação vem
c = -1 - b
Substituindo na primeira
2a + b +(-1 - b) = -2 implies 2a = -1 implies a = -tfrac12
Da segunda
3b + 3d = 3 implies d = 1 - b
Finalmente, em a+b+c+d=-2 substituímos a,c,d:
-tfrac12 + b +(-1 - b) + (1 - b) = -2 implies -tfrac12 - b = -2 implies b = tfrac32
Logo
c = -1 - tfrac32 = -tfrac52, d = 1 - tfrac32 = -tfrac12
Passo 5
Concluímos
a = -tfrac12, b = tfrac32, c = -tfrac52, d = -tfrac12