Considere a matriz [T]beta^beta=[ccc4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12] que representa um operador linear T: R^3 R^3.
Verifique que D=A T A^-1 é uma matriz diagonal. Utilize essa decomposição para calcular T^5.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base beta,
[T]beta^beta = 4 & -6 & -30 -5 & 9 & 43 2 & -2 & -12 ,
e pede para mostrar que existe uma matriz A que diagonaliza T, ou seja,
D = A^-1 T A
é diagonal, e então usar essa diagonalização para calcular T^5. O conteúdo principal aqui é a diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores e a fórmula
T^n = A,D^n,A^-1

Passo 2

Calcular o polinômio característico de T. Seja lambda um escalar;
detl(T - lambda Ir) =det 4-lambda & -6 & -30 -5 & 9-lambda & 43 2 & -2 & -12-lambda =-(lambda^3-lambda^2-4lambda+4)
Assim o polinômio característico é
lambda^3-lambda^2-4lambda+4=0,
que fatoriza como
(lambda-1)(lambda-2)(lambda+2)=0
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=-2

Passo 3

Para cada autovalor lambda resolvemos (T-lambda I)v=0 e obtemos autovetores:
lambda=1:;v1=(6,-7,2), lambda=2:;v2=(3,-4,1), lambda=-2:;v3=(2,-3,1)
Escolhemos esses vetores para formar a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 6 & 3 & 2 -7 & -4 & -3 2 & 1 & 1

Passo 4

Calculamos A^-1TA. De fato, omito os detalhes algébricos mas verifica-se que
D = A^-1TA = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -2 ,
ou seja, D é diagonal com as entradas iguais aos autovalores encontrados.

Passo 5

Para qualquer inteiro n vale
T^n = A,D^n,A^-1
No nosso caso n=5, e
D^5= 1^5 & 0 & 0 0 & 2^5 & 0 0 & 0 & (-2)^5 = 1 & 0 & 0 0 & 32 & 0 0 & 0 & -32
Portanto
T^5 = A,D^5,A^-1

Resposta

Calculando explicitamente A,D^5,A^-1 obtemos
T^5 = -26 & -186 & -570 25 & 249 & 793 2 & -62 & -222

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