Considere:
  • a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
  • a transformação linear tal que ,
    Utilizando as condições acima, determine e .

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares:
1. T:R^2to M2(R) cuja matriz em relação às bases canônicas beta de R^2 e alpha de M2(R) é
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
2. S:M2(R)toR é um funcional linear cujos valores em quatro matrizes formam um sistema que nos permitirá achar S em geral.
Para resolver, primeiro vamos achar T(e1) e T(e2) e daí T(a,b). Depois, escrevemos S em função das avaliações em Eij e usamos linearidade para determinar S([x;y;z;w]).

Passo 2

As colunas de [T]beta^alpha são as coordenadas de T(e1) e T(e2) na base alpha=E11,E12,E21,E22.
A primeira coluna l(1,0,0,1r)^T diz
T(e1)=1cdot E11+0cdot E12+0cdot E21+1cdot E22 =E11+E22 =1&00&1
A segunda coluna l(0,-1,1,0r)^T diz
T(e2)=0cdot E11-1cdot E12+1cdot E21+0cdot E22 =-E12+E21 =0&-11&0

Passo 3

Por linearidade,

Passo 4

Para S, definimos sij=S(Eij). As quatro condições fornecidas são:
S!2&11&0 =2s11+1s12+1s21+0s22=-2,
S!0&30&3 =0s11+3s12+0s21+3s22=3,
S!1&11&1 =s11+s12+s21+s22=-2,
S!0&11&0 =0s11+1s12+1s21+0s22=-1
Isto gera o sistema
2s11+s12+s21=-2, 3s12+3s22=3, s11+s12+s21+s22=-2, s12+s21=-1

Passo 5

Do quarto item s12+s21=-1.
Do segundo 3(s12+s22)=3 Rightarrow s12+s22=1.
Da primeira 2s11+(-1)=-2 Rightarrow s11=-tfrac12.
Substituindo em s11+s12+s21+s22=-2
-tfrac12 + (s12+s21) + s22=-2. Como s12+s21=-1 e s22=1-s12,
-tfrac12 -1 + (1-s12)=-2 ;Longrightarrow; -tfrac12 -s12=-2 ;Longrightarrow; s12=tfrac32
Assim s21=-1-tfrac32=-tfrac52 e s22=1-tfrac32=-tfrac12.

Passo 6

Logo, para matriz genérica vale

Resposta

.

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