a matriz representa uma transformação linear em que e são as bases canônicas dos espaços vetoriais em questão.
a transformação linear tal que ,
Utilizando as condições acima, determine e .
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares: 1. T:R^2to M2(R) cuja matriz em relação às bases canônicas beta de R^2 e alpha de M2(R) é
[T]beta^alpha = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0
2. S:M2(R)toR é um funcional linear cujos valores em quatro matrizes formam um sistema que nos permitirá achar S em geral.
Para resolver, primeiro vamos achar T(e1) e T(e2) e daí T(a,b). Depois, escrevemos S em função das avaliações em Eij e usamos linearidade para determinar S([x;y;z;w]).
Passo 2
As colunas de [T]beta^alpha são as coordenadas de T(e1) e T(e2) na base alpha=E11,E12,E21,E22.
A primeira coluna l(1,0,0,1r)^T diz
Do quarto item s12+s21=-1.
Do segundo 3(s12+s22)=3 Rightarrow s12+s22=1.
Da primeira 2s11+(-1)=-2 Rightarrow s11=-tfrac12.
Substituindo em s11+s12+s21+s22=-2 dá -tfrac12 + (s12+s21) + s22=-2. Como s12+s21=-1 e s22=1-s12,