Considere a matriz
\underset{\sim}{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right], a matriz \underset{\sim}{Q}=\left[\begin{array}{ccc}5 & 6 & 7 \\\\ 8 & 9 & 10\end{array}\right] e o vetor \underset{\sim}{r}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]. Para cada um dos produtos abaixo, efetue o cálculo ou justifique por que a multiplicação é impossível.
\underset{\sim}{Q} \cdot \underset{\sim}{r}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\underset{\sim}{Q} = \begin{pmatrix}5 & 6 & 7\\[6pt]8 & 9 & 10\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{2\times3} e o vetor
\underset{\sim}{r} = \begin{pmatrix}1\\[3pt]2\\[3pt]3\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{3}, e pede o produto \underset{\sim}{Q}\cdot \underset{\sim}{r}. O conteúdo aqui é multiplicação de matriz por vetor, que exige compatibilidade de dimensões.]

Passo 2

Verificamos a compatibilidade de dimensões: o número de colunas de \underset{\sim}{Q} é 3 e o número de entradas de \underset{\sim}{r} também é 3. Portanto o produto está definido, resultando num vetor em \mathbb{R}^{2}. Em geral,
(\underset{\sim}{Q}\cdot \underset{\sim}{r})_i \;=\;\sum_{k=1}^{3}Q_{ik}\,r_k,\quad i=1,2.

Passo 3

Calculamos cada componente:
Para i=1:
(\underset{\sim}{Q}\cdot \underset{\sim}{r})_1 =5\cdot1 + 6\cdot2 + 7\cdot3 =5 + 12 + 21 =38.
Para i=2:
(\underset{\sim}{Q}\cdot \underset{\sim}{r})_2 =8\cdot1 + 9\cdot2 + 10\cdot3 =8 + 18 + 30 =56.

Resposta

\underset{\sim}{Q}\cdot \underset{\sim}{r} = \begin{pmatrix}38\\[3pt]56\end{pmatrix}.]

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