Considere a matriz
\underset{\sim}{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right], a matriz \underset{\sim}{Q}=\left[\begin{array}{ccc}5 & 6 & 7 \\\\ 8 & 9 & 10\end{array}\right] e o vetor \underset{\sim}{r}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]. Para cada um dos produtos abaixo, efetue o cálculo ou justifique por que a multiplicação é impossível.
\underset{\sim}{P} \cdot \underset{\sim}{Q}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
\underset{\sim}{P}\in\mathbb{R}^{2\times2} e \underset{\sim}{Q}\in\mathbb{R}^{2\times3} e pede o produto \underset{\sim}{P}\cdot\underset{\sim}{Q}. Para multiplicar duas matrizes \underset{\sim}{A}\in\mathbb{R}^{m\times n} e \underset{\sim}{B}\in\mathbb{R}^{p\times q} é preciso ter n=p, e o resultado é uma matriz em \mathbb{R}^{m\times q}.

Passo 2

Aqui temos \underset{\sim}{P}\in\mathbb{R}^{2\times2} e \underset{\sim}{Q}\in\mathbb{R}^{2\times3}, então as dimensões internas coincidem ( 2=2) e o produto está definido. O resultado será uma matriz 2\times3.

Passo 3

Usamos a definição
(\underset{\sim}{P}\,\underset{\sim}{Q})_{ij} =\sum_{k=1}^{2}P_{ik}\,Q_{kj}
para cada i=1,2 e j=1,2,3.

Passo 4

Cálculo da primeira linha ( i=1):
j=1: 1\cdot5 + 2\cdot8 = 5 +16 = 21
j=2: 1\cdot6 + 2\cdot9 = 6 +18 = 24
j=3: 1\cdot7 + 2\cdot10 = 7 +20 = 27

Passo 5

Cálculo da segunda linha ( i=2):
j=1: 3\cdot5 + 4\cdot8 = 15 +32 = 47
j=2: 3\cdot6 + 4\cdot9 = 18 +36 = 54
j=3: 3\cdot7 + 4\cdot10 = 21 +40 = 61

Resposta

\underset{\sim}{P}\,\underset{\sim}{Q} = \begin{pmatrix} 21 & 24 & 27\\\\ 47 & 54 & 61 \end{pmatrix}

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