Considere as matrizes A=[3], B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 4 & -3\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 1 \\\\ -2 & -3 & 0\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 5 & -7 \\\\ -2 & 3 & 2\end{array}\right] e E= \left[\begin{array}{cccc}2 & 3 & -3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -4\end{array}\right]. Calcule os determinantes abaixo.
(d) \operatorname{det}(D).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 2 & 5 & -7\\\\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e pede \det(D). Para uma matriz 3\times3 podemos usar a regra de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da primeira linha.

Passo 2

Pela expansão na primeira linha,
\det(D) = (-1)\cdot M_{11} + (0)\cdot M_{12} + (1)\cdot M_{13},
onde M_{1j} é o menor complementar obtido ao eliminar linha 1 e coluna j.

Passo 3

Calculamos os menores:
Para M_{11}, eliminando linha 1 e coluna 1:
M_{11} = \det\!\begin{pmatrix}5 & -7\\[6pt]3 & 2\end{pmatrix} = 5\cdot2 - (-7)\cdot3 = 10 + 21 = 31.
Para M_{13}, eliminando linha 1 e coluna 3:
M_{13} = \det\!\begin{pmatrix}2 & 5\\[6pt]-2 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot3 - 5\cdot(-2) = 6 + 10 = 16.
Logo,
\det(D) = (-1)\cdot31 + 0 + (1)\cdot16 = -31 + 16 = -15.]

Resposta

\det(D) = -15

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