Considere as matrizes abaixo:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ 4 & -3 & -1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -1 & -2 \\\\ 3 & -2 & -1 & -1 \\\\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{array}\right) .
Mostre que não vale a lei do cancelamento para produto de matrizes, ou seja, A \neq 0 e A B=A C mas B \neq C.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 2 & 1 & -3\\\\ 4 & -3 & -1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 3 & -2 & -1 & -1\\\\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
O objetivo é mostrar que, apesar de A\neq0 e de AB=AC, ainda assim B\neq C. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e verificação de igualdade de matrizes.

Passo 2

Para ver que A\neq0, basta observar que um dos seus elementos é diferente de zero. Por exemplo, A_{11}=1\neq0. Logo, A não é a matriz nula.

Passo 3

Vamos calcular AB. Por definição,
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.
Tomando a primeira linha de A e a primeira coluna de B, temos
1\cdot1 +(-3)\cdot2 +2\cdot1 = -3.
Repetindo o procedimento para as outras colunas, chega-se a
AB = \begin{pmatrix} -3 & -3 & 0 & 1\\\\ 1 & 15 & 0 & -5\\\\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos AC de modo análogo. Usando
(AC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}C_{kj},
para a primeira linha e primeira coluna de C obtemos
1\cdot2 +(-3)\cdot3 +2\cdot2 = -3,
e, ao completar para todas as colunas, encontra-se
AC = \begin{pmatrix} -3 & -3 & 0 & 1\\\\ 1 & 15 & 0 & -5\\\\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Comparando, vemos que
AB = \begin{pmatrix} -3 & -3 & 0 & 1\\\\ 1 & 15 & 0 & -5\\\\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{pmatrix} = AC.

Passo 6

Porém, claramente B\neq C, pois basta comparar uma entrada:
B_{12}=4\quad\text{enquanto}\quad C_{12}=1,
logo B\neq C.

Resposta

Mostramos que A\neq0, que AB=AC e, ainda assim, B\neq C. Portanto, a lei de cancelamento não vale para produto de matrizes.

Exercícios relacionados