Considere as matrizes v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} e w definidas abaixo:
v_{1}=\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\\ 2 & 1\end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\ 1 & 0\end{array}\right], \quad v_{3}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\ 0 & 0\end{array}\right], \quad v_{4}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\ 0 & 0\end{array}\right] \quad \text { e } \quad w=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\ 1 & 1\end{array}\right]
Se ( a, b, c, d ) são as coordenadas de w com respeito à base E=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} do espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}), então a-b-c+d é igual a
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) 3
(e) 4

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes
v_{1}=\begin{pmatrix}4&3\\\ 2&1\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}3&2\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
e a matriz
w=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Queremos achar os escalares (a,b,c,d) tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}+d\,v_{4}=w
ou seja, coordenadas de w na base E=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}, e então calcular a - b - c + d.

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando entradas, temos
a\begin{pmatrix}4&3\\\ 2&1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}3&2\\\ 1&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
4a+3b+2c+d=0, \quad 3a+2b+c=0, \quad 2a+b=1, \quad a=1.

Passo 3

Da última equação tiramos a=1.
Substituindo em 2a+b=1
2\cdot1 + b =1 \quad\Longrightarrow\quad b=-1.

Passo 4

Agora em 3a+2b+c=0 substituindo a=1 e b=-1 obtemos
3\cdot1 +2\cdot(-1)+c=0 \quad\Longrightarrow\quad c=-1.
Finalmente, em 4a+3b+2c+d=0 com a=1, b=-1, c=-1 vem
4\cdot1 +3\cdot(-1)+2\cdot(-1)+d=0 \quad\Longrightarrow\quad d=1.

Passo 5

Portanto (a,b,c,d)=(1,-1,-1,1) e
a - b - c + d =1 -(-1) -(-1) +1 =1+1+1+1 =4.

Resposta

4

Exercícios relacionados