Considere as matrizes
\begin{aligned} & A=[3], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\\\ 4 & -3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 1 \\\\ -2 & -3 & 0 \end{array}\right], \\\ & D=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 5 & -7 \\\\ -2 & 3 & 2 \end{array}\right] \quad \text { e } E=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 3 & -3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -4 \end{array}\right] . \end{aligned}
Calcule os determinantes abaixo.
(h) \operatorname{det}\left(C^{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede \det(C^{t}), onde
C = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 1\\\\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.
Vamos usar a propriedade básica de determinantes:
\det(C^{t}) = \det\text{(C)}.

Passo 2

Para calcular \det\text{(C)}, fazemos a expansão pela primeira linha:
\det\text{(C)} = (-3)\det\!\begin{pmatrix}-4 & 1 \\\\ -3 & 0\end{pmatrix} - 2\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ -2 & 0\end{pmatrix} + 1\det\!\begin{pmatrix}2 & -4 \\\\ -2 & -3\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}-4 & 1 \\\\ -3 & 0\end{pmatrix} = (-4)\cdot 0 - 1\cdot(-3) = 3,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ -2 & 0\end{pmatrix} = 2\cdot 0 - 1\cdot(-2) = 2,
\det\!\begin{pmatrix}2 & -4 \\\\ -2 & -3\end{pmatrix} = 2\cdot(-3) - (-4)\cdot(-2) = -6 - 8 = -14.
Substituindo:
\det\text{(C)} = (-3)\cdot 3 \;-\; 2\cdot 2 \;+\; 1\cdot(-14) = -9 - 4 - 14 = -27.

Passo 4

Pelo que dissemos em

Passo 5

\det(C^{t}) = -27.

Resposta

-27

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