(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(\quad) A \cdot A^{t} é uma matriz simétrica, qualquer que seja a matriz A .

Passo 1

O enunciado pergunta se, para qualquer matriz A, o produto A \cdot A^{t} é sempre uma matriz simétrica. Lembrando que uma matriz M é simétrica se e somente se
M^{t} = M.
Para resolver, vamos usar duas propriedades básicas da transposição:
  1. \bigl(AB\bigr)^{t} = B^{t}A^{t}.
  2. \bigl(A^{t}\bigr)^{t} = A.

Passo 2

Defina M = A \,A^{t}. Calculamos a transposta de M usando as propriedades:
M^{t} = \bigl(A\,A^{t}\bigr)^{t} = \bigl(A^{t}\bigr)^{t}\,A^{t} = A\,A^{t} = M.
Como M^{t} = M, concluímos que M é simétrica.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados